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漸化式の変形
漸化式の書き方はよく分からないんですけど、数列の第3項はA_3のように書きたいと思います。 数列A_nがA_1=3,A_n+1=2A_n-nで定義されるとき、一般項A_nを求めよ。 上のような問題でA_n+1=2A_n-nを変形すると、A_n+1-(n+2)=2(A_n-(n+1))と変形できると解答にあるのですが、 右辺の(n+1)って何ですか?また、これの導き方を教えていただきたいです。
- orangegirl
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こんばんは A_n+1-(n+2)=2(A_n-(n+1))という変形はすぐには思いつかないですね。 A_n+1=2A_n-nをA(n+1)=2A(n)-nと書きますよ。 これを等比数列の形に書き換えることを考えて、まず A(n+1)+p(n+1)+q=2{A(n)+pn+q}・・・ア とおきます。整理して、 A(n+1)=2A(n)+pn-p+q 後ろの部分が-nになればいいので、p=-1,q=-1 これをアの式に代入すればOKです。
- 参考URL:
- http://tatsume.net/task314/
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- iceforceless
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厳しい言い方かも知れませんが、漸化式が読みにくいです。 添え字が書きにくいのも分かりますが、誤解の無いように括弧をもっと使ってください。 式は次のように書くのがいいと思います。 A_(n+1)=2A_n-n では回答に移らさせていただきます。 このような問題は次のように変形できるように仮定した上で計算していきます。 A_(n+1) + α(n+1) + β =2(A_n + αn + β)・・・(*) こうなると仮定して、(*)を変形して元の式に戻してαとβを決めます。 そうすると、 B_n = A_n +n+1 として、 B_(n+1) = 2B_n として求めることができますね。 更に一般の場合として、n^2やn^3が付いてる場合にも同様にして解くことができます。 n^2がある場合には、 A_(n+1) + α(n+1)^2 + β(n+1) + γ =k(A_n+ αn^2 + βn + γ ) と変形できると仮定して係数を求めます。 (ちなみにkはA_(n+1)の係数が1になるように両辺を割ったときのA_nの係数) このやり方を使えば大体の漸化式はなんとかなります。
- sunasearch
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このように変形すると、 B_(n+1) = A_(n+1) - (n + 2) B_n = A_n - (n + 1) として、 B_(n+1) = 2B_n とできるからです。 このような問題では、うまくnを消すことを考える必要があります。 両辺をnで割るというパターンもあるのですが、 今回の場合は、解答のように変形する必要がありそうですね。 導き方としては、解答のような形に変形できるということをあらかじめ知っていた上で、係数を合わせることになります。 A_(n+1) - (n+1+k) = 2(An - (n+k)) と変形できるとして、 kの値を求める感じだと思います。
- tatsumi01
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削除対象かも知れませんが、ヒントだけ。 A_n+1=2A_n-n の両辺から (n+2) を引けば出るでしょ。 なんでこんな風に変形したいかといえば B_n+1=K B_n の形に持っていって、等比数列の形にしたいんでしょうね。 それに気が付けたって無理・・・でもないか。
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お礼
ありがとうございます。非常に分かりやすくとても理解しやすかったです。おかげでしっかり疑問が解消されました。