短時間での計算法が思いつかない

質問

テストの文章題で方程式を作って解こうとし、以下の式を作りました。

ｘ＾2＋203ｘ－2580＝0　　　

他の問題は早めに解き終わりこの問題も、式はすぐに思いつきましたが、計算に時間がかかり過ぎて、結局負けてしまいました。公式を使ってもルートから整数に戻すことが出来ず、203と2580の数字からｘを推理することもできませんでした。どうすれば3分や4分でｘをもとめられるんでしょうか。教えてください。ルート2116などの小さい数字ならば46というように覚えているのですが。

回答No.5

adinat · ベストアンサー

整数解があることがあらかじめ分かっているような問題の場合は必ず因数分解できるわけですから、がんばって因数を見つける作業をすることになります。また整数解があるかないかわからないような場合も、まず因数分解できるか試みることは有益だと思います。係数が大きい場合はまず素因数分解することです。

2580=2^2×3×5×43

に注意すると、1次の係数203を作るためには、5×43-(2^2×3)を利用して、

x^2+203x-2580=(x-12)(x+215)

と因数分解されます。係数203が大きいので、分解の候補は容易に見つかるでしょう。闇雲に実験するよりは、♯3様や♯4様がおっしゃるように、だいたい10×200ぐらいだと見当をつけてやるのは大変によい方法であるように思います。

因数分解の係数を見つける自信がない場合は解の公式で直接解を求めてしまうのも方法のひとつです。電卓があればやさしいですが、手計算の場合は開平方を筆算でやる必要があります。この問題の場合、

x={-203±√(203^2+4×2580)}/2

です。√の中身が平方数でなければ、そもそも因数分解は不可能なので、もし因数分解できるという希望があるならば、この√は簡単に計算できます。つまり203^2+4×2580=51529ですから、この√は明らかに200以上300未満になっているはずです。210^2=44100、220^2=48400、230^2=52900ですから、220以上230未満であることが分かります。1の位が9であることから、下一桁の候補は3か7以外にありません。実際227^2=51529であるので、結局、

x={-203±227}/2=12,-215

というわけです。上のようにうまく見つけてもいいし、もう少し統一的にやる方法として、開平方の筆算の方法がありますので、よかったら一度参考URLをご覧ください。中学数学程度のものですので、難しいものではありません。

いずれにせよ、多少計算なれしておく必要はあるかも知れませんが、4、5分もあれば十分回答は可能であるとは思います。

参考URL：

http://www3.ocn.ne.jp/~kokoten/sangikeisan4.htm

回答No.4

jisin74

つぎのように考えて、1分ほどで因数分解しました。
ちなみに答えは(x-215)(x+12)=0。

(x-a)(x-b)=0と考えて、a,bの差が203,積が2580
→もっとぼんやりと考えて、差が約200,積が約2500
→ということは、(1)aは200～250ぐらいでbは10ぐらいだと推測。
(2)bが10ならば(数字が小さい方を先に考えます)、aは258。計算してみるとNG、けどかなり近い。
(3)2580の約数は2,3,4,...なので、bとして10の次に12を考える。
(4)計算してみるとOK！

文章で書くとややこしいですね。
もっと一般的に言い換えます。

(x-a)(x-b)=x^2+cx+d=0のとき、
i)cの絶対値が小さいなら、aとbは差が小さい
　→√dに近い数字をa,bの候補として考えはじめる
ii)cの絶対値が大きいなら、aとbの差は大きい
　→絶対値の小さいdの約数をbの候補として考えはじめる

これで、かなり時間が節約できます。

回答No.3

sanbuxiu

まず　引き算で答えが２０３になる場合をかんがえます。次にかけて２５８０になるには、２００ｘ１０ぐらいになるとわかる。するとと、２０６－３、２１３－１０、２１５ｘ１２とかでてきて、末位の積が０になるためには、３と０、８と５、５と２がかんがえられ、２１５と１２がえらばれ、（ｘ－１２）（ｘ＋２１５）＝０
となる。

回答No.2

info22

2根の積がマイナスで２根の絶対値の差が203（奇数の素数）ということで
差が200位、奇数*偶数の積を考慮して、素因数分解後、積にわけ、
2580=8*3*25*43=12*215
２根の和がマイナスなので大きい因数にマイナスをつけて
12と-215とする。
後は正しいか検算しておく。

といったように考えるといったところかな？

回答No.1

gones

(x-12)(x+215)=0 なのですが、文章題の中に整数解のヒントが
なかったのでしょうか？