三角比では有理化しないのはなぜ？

質問

高等学校の数学では、ほとんどの場合有理化が要求されているのに、三角比だけは例外だと感じます。
　つまり、たとえばsin45°＝1/√２は教科書や問題集・参考書でも有理化されていないと思います。
　1/√２を有理化しないのはある種の美意識の問題なのかもしれないとは思うものの、なぜ三角比だけが高等学校の数学で例外なのか、どなたか回答をお願いします。
　（もしかしたら、私の思い違いかもしれませんが。）

回答No.8

pyon1956

どっちでもいい、という前提の下でさらに。

1/√2をつかうのは皆さんが仰るように三角形の辺の長さの憶え易さの問題でしょう。

一方で√2/2についてですが、
30°、45°、60°のところでsinの値が順に1/2,√2/2,√3/2となっているのに注意すると、分母が2で、分子が順に(0),1,2,3,(4)の√になっていて、憶え易いということもあります。教育上憶え易いことは意味がありますから、有理化して教える、という考え方もあります。
結局両方使うのですね。

回答No.7

pyon1956

有理化（正確には分母の有理化を）することのそもそもの目的は、数値計算する場合にややこしい小数で割り算しないことなんです。
1/1.414と、1.414/2とどちらの計算をするのが楽か、ということですね。
もちろんこれらは近似値なので、この二つの答は一致しませんが数値計算は精度何桁、とはじめから決めた数値を用いるので誤差の範囲で「一致する」といえます。ならば計算の楽なほうでやりましょう、というもの。

まあ目的から形式が遊離して、練習問題として無意味な問題が発生してしまうのは教育数学のなかでしばしばあることですが。（実用から離れている上、試験のため、という大義名分らしきものがあるため）

三角比の場合、実用もあるのですが、実用的な計算をする場合は「教科書巻末の表」の小数の（当然近似値です）値を使うのが普通です。2√3メートルといわれてもピンとこないが3.464メートルならああ、そんなもんかとわかるように。

したがって√で表現するのは「実用的でない場合」「仮想的なきっちり45度」などの場合です。この場合計算結果を小数で誤差何桁でだす、という必要がないので、有理化する意味がないだけのことです。
ただし、おっしゃるような美意識の問題も一定あるため、(√6+√2)/4とは書いても、(√3+1)/2√2のままでは放って置かない、といったことはあるのですが。

お礼

詳細な回答ありがとうございました。（No.8とあわせて）一言でいうと（長い回答を短くしてごめんなさい）N0.8にあるように「有理化する意味がないので、どちらでも良い」ということでしょうか。
確かに「cos１５°はどちらでもいいけど、有理化した方がきれい。」ですよね。
回答ありがとうございました。

回答No.6

hpsk

三角「比」という言葉の通り、
sin45°= 1/√2
というのは 2辺の比が 1:√2 であることを表している。
「√2の半分」という数の大きさを表すのであれば分子を有利化したほうがわかりやすいが、数の比として見るのであれば、2:√2 より 1:√2 と表したほうが直感的にわかりやすい。

からであると理解しています。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.5

kyubo

三角比の値というのは、計算結果ではなく、計算において使用する値です。
よって、特に有理化を行う必要がないのだと思います。また、有利化してしまうよりも、有利化していない数のほうがきれいに見えます。数学は、きれいということに価値を置いている部分もあるので、有理化しないのだと思います。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.4

oosawa_i

こんばんは。
　私の記憶では、教科書・参考書によって有理化する場合と有理化しない場合があります。
　端的に言ってレベルの高い教科書・参考書では有理化していたと思います。
　１０年くらい前の記憶なので、今はちがうのかもしれませんが。

お礼

レベルの違いというのは全く思いもしなかったのですが、そういう一面もあり得ると思います。ありがとうございました。

回答No.3

shibainumodoki

三角比の場合、sin45°などの値を求めることが目標でなく、その後、その値を用いて面積などを求める事が多いので、あえて有理化するより、後の計算が楽になるからなのでは？

お礼

道具、あるいは途中経過としての１／√２なのだからわざわざ有理化せずとも良い、ということですね。今回の質問に対する回答でその考え方（見方）を知りました。回答ありがとうございました。

回答No.2

sunasearch

三角比は、単純には直角三角形の辺の長さの比を、
表しているため、できるだけ簡単な比で表したいのだと思います。

９０度、４５度、４５度の三角形の場合、
１：１：√２と覚えるのはやさしいですが、

√２：√２：２とは覚えにくいかと思います。

この三角形の辺の比と、三角比を対応させて、

例えば、sin45度＝1/√２と書くのだと思います。

お礼

もともと三角比は直角三角形の辺の長さの比なのだから有理化しなくてもよい、という事ですね。回答ありがとうございました。

回答No.1

mryokko

三角比の場合、「１対２対ルート３」とかいわばゴロ合わせのように覚えた数値の比を計算に使いますよね。角度で言うと、０，４５，６０，９０（及びそれらの＋９０，１８０など）しか高校では出てきません。それを使って問題を解くわけですね。ですから、変に有理化すると却って計算し辛くなる場合が多々あります。すっきりした解答が出るよう作問されていて、計算途中で分母のルートが消えるような問題が多いです（センター試験も）。こんな理由で有理化しないのではないでしょうか。
tarobe_san以上に私の思い違いかも知れませんｗ

お礼

sin４５°＝１／√２は道具である、といったような意味でしょうか。そういうとらえ方は私にはなかったので「なるほど、そういう見方もできるか」と思いました。
回答ありがとうございました。