積分の問題

質問

1．sinx/(1+sinx)　の問題でtan(x/2)=tを使って
sinx=2t/1+t^2 , dx=2dt/1+t^2
を代入して解くと思うんですが、どうしたらいいか分かりません。答えは一応載っていて x+{2/(tan(x/2)+1)}になります。

2．x^4/(x^3-1)　の問題でx^4=(x-1)(x^2+x+1)にまずすると思うんですが、そこからがわかりません。しかも答えを見てもlogやtanが出てきていてどうしたのか分かりません。答えは
(1/2)x^2+(1/3)log|x-1|-(1/6)log(x^2+x+1)
+(1/√3)tan^(-1)(1/√3)(2x+1)
よろしくお願いします。

回答No.1

pascal3141 · ベストアンサー

どちらも同じような所で躓いていると思われます。
２.はx^4/(x-1)(x^2+x+1)＝x+1/3(x-1)+(-x+1)/3(x^2+x+1)と、部分分数分解をして、３つの項それぞれを積分します。１．も同じように部分分数分解できます。これでやってみてください。

補足

x^4/(x-1)(x^2+x+1)＝x+1/3(x-1)+(-x+1)/3(x^2+x+1)
この式がどうやって出てきたか分からないですけど...。初歩的なことだと思うんですけどすいません。
よろしくお願いします。

回答No.4

pascal3141

これで最後です。K=∫(-x+1)/｛3(x^2+x+1｝｝dxは、x=(√3×t-1)/2を代入して、k=-(1/3)∫｛t/(t^2+1)｝dt+(1/√3)∫｛1/(t^2+1)｝dtに成ります。ここからtan(θ/2)の出番です。

お礼

何回もありがとうございました。大変助かりました。

回答No.3

pascal3141

１．I=∫{sinx/(i+sinx)}dx=∫{4t/(1+t^2)(1+2t+t^2)}dt（上記の置き換えで）となり、Ｉを部分分数分解すれば、I=∫2/(1+t^2)dt-∫2/(1+2t+t^2)dtとなります。最初の項はx、後の項は2/{tan(x/2)+1}になりますよ。

補足

遅くなってすみません。はじめに答えてもらった答えで(-x+1)/3(x^2+x+1)の積分がうまくいきません。tanはどのように使っているのでしょうか。

回答No.2

pascal3141

#1の補足です。x^4/(x^3-1)＝x+x/(x^3-1) ここで、x/(x^3-1)=x/(x-1)(x^2+x+1)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+x+1)とおいて、通分して、両辺の係数を比べれば、A=-B=C=1/3と成ります。よって、前記のような部分分数に分けられます。

補足

１の問題の答えでxは出るんですが、{2/(tan(x/2)+1)}の項が出てきません。こちらも詳しく教えてください。