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(0,0)で連続?不連続?
adinatの回答
皆様もご指摘なさっているように、多変数関数の連続性は一変数関数の連続性より圧倒的に厳しい条件なのです。つまり原点へ近づける方法がいろいろあるからです。たとえばx軸に沿って原点に近づける、x=yを保ちつつ近づける、あるいは螺旋上に近づけるなど、無限通りの近づけ方があります。一変数の場合は本質的に右から近づける場合と、左から近づける場合だけ考慮すればよかったのに対し、二次元以上はこれだけ複雑になるわけです。従って連続性の証明はこれらすべての近づけ方に対応する方法で示さなくてはなりません(たとえばまっすぐに近づける方法すべてを調べられたとしても、螺旋状に近づける方法は示したことにはならない)。逆に連続でないことを言うためには、0に収束しない近づけ方がただひとつでもあればそれでよいわけです。だからこの問題ははそういう近づけ方を考えればよい。たとえば、x=yを保ちつつ近づける(「(1,1),(0.1,0.1),(0.01,0.01),…」のような近づき方を考えるわけです)とf(X,Y)はずっと1/2のままです。したがっていくら原点に近づけても0にはならないわけです。 直感に反しておられるようなので、グラフをソフトに描かせてみました。参考URLをご覧ください。原点付近でf(X,Y)は異様な振る舞いをしていることがお分かりになると思います。
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