運動量と速さの関係について

質問

座標系Sに於いて質量mの粒子がx軸方向に運動量pで運動していて、座標系Sに対して座標系S'が速さvで等速直線運動している時、この粒子をS'系で観測すると静止していた場合のpとvの関係はどうなりますか？
あと、m^2c^2≫p^2の場合には近似的にp≒mvとなることを示したいのですが示し方を教えてください。

回答No.2

solla

> m^2c^2≫p^2の場合

とおっしゃっているので相対論的な場合を考えているのだと思います。

> 座標系Sに於いて質量mの粒子が

とありますが、題意からこのmは静止質量と考えるべきかと思います。そうすると、相対論的運動量 p は（以下、式を見やすくするためべき乗を v^2 → v2 のように書きます）、

p = mv / √（1 - v2/c2）

となります。この式を v について解けば（根号は正のもののみをとって）、

v = cp / √（m2c2 + p2）

となります。

さらに右辺を変形すると、

v = cp / mc √（1 + p2/m2c2）

　= (p/m) / √（1 + p2/m2c2）

となります。m2c2 ≫ p2 の極限で、p2/m2c2 → 0 となり、

p = mv

となる事がわかります。

回答No.1

at9_am

運動量と質量から粒子の速度は p/m になります。
この粒子の運動をうち消すように S'が運動しているという条件から、座標系 S の x 軸の方向に v=p/m で運動していることが分かります。
したがって p=mv になります。

この種の問題は、本来は座標軸の回転も考える必要があるかとは思いますが、粒子とS'が等速直線運動をしているので回転していないということが分かります。