行列計算

質問

A=[1 2;2 3]としたとき、A^50を簡単に計算せよ。という問題があります。
(a11=1 a12=2 a21=2 a22=3　ということです)
Aは2次の正方対称行列になっていますが、そのことを利用するのでしょうか？
よくわからないので、誰か教えてください

回答No.4

scale--free

対角化してみてはどうでしょう！

Ａは対称行列なので、直交行列をつかって対角化できます:
Ａ　＝　ｇΛｇ^{T}
ここで、ｇは直交行列です(⇔ ｇｇ^{T} = 2×2単位行列)

すると、
A^2 = g(Λ^2)g^{T}
A^3 = g(Λ^3)g^{T}
：
となります。A^50なら、……。

なので、まずは対角化してみましょう。

回答No.3

ken1tar0u

#2さんの別解を考えて見ました。（方針のみ）
一般に、ケイリー=ハミルトンの公式：
A^2 - tr(A)A + det(A)E = 0
ただし tr(A) = a11+a22;
det(A) = a11・a22 - a12・a21
です。（実は２次以上の正方行列で成り立ちます。）
今回の場合に適用すると、
A^2 - 4A - E = 0 ⇔A^2 = 4A + E（☆）
両辺に A をかけると、
A^3 = 4A^2 + A = 4(4A + E) + A = 17A + 4E.
どうやら A^k = p(k)A + q(k)E と書けそうです。
ここで p(k) と q(k) は k を添え字とする数列です。
そこでさらに A を両辺にかけると
A^(k+1) = p(k)A^2 + q(k)A
さらに☆を使って
= p(k)(4A + E) + q(k)A
= (4p(k)+q(k))A + p(k)E
つまり、p(k+1) = 4p(k)+q(k), q(k+1) = p(k) であることがわかります。（k≧2 に注意。）
左のほうの式の k を一つ増やすと、
p(k+2) = 4p(k+1) + q(k+1)
なので、最後の項に右のほうの式を代入して
p(k+2) = 4p(k+1) + p(k).
良く見ると３項間の漸化式。p(2) = 4, q(2) = 1,
p(3) = 17, q(3) = 4 も解っているので、高校の数列の知識で一応解けますね。
途中まで計算したところ、多分 #2 さんの答えと同じになりそうです。
やはり答えがキレイじゃないなあ。

回答No.2

eatern27

簡単かどうかは知りませんが、

P=[2,2;1+√5,1-√5]
とおくと、

P^(-1)AP=[2+√5,0;0,2-√5]
となるはずですので、

(P^(-1)AP)^50=P^(-1)A^50P=[(2+√5)^50,0;0,(2-√5)^50]

に左からP,右からP^(-1)をかければ、とりあえず、A^50が求まります。

回答No.1

at9_am

計算機でA^50を計算したところ、

A^50=(6.1613e+030 , 9.9692e+030 ; 9.9692e+030 , 1.6131e+031)

という、ちょっと計算問題としては不可解な解が出てきました（e+30 は×10^30という意味です）。当然の事ながら、例えば6.1613e+030は31桁の数字です。

多分、問題がおかしいと思います。