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行列と群

今下記の問題の証明を試みています。 「S3∋σに対して3次正方行列Aσ=(aij)をaij=δiσ(j) (i=1,2,3、j=1,2,3)とおくことによって定める。ただし、δklはクロネッカー記号。 今6個の3次正方行列Aσは行列の積で群を作ることを示せ。」 それで、今群である条件のひとつの結合法則を示そうとしているのですが、 「S3は3次対称群で、σは結合法則が成立するので、σに依存しているAσに対しても結合法則は成立」 という1行だけで証明したことになりますか。 他の方法で解かなければならないでしょうか? よろしくお願いします。

noname#38655
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>「S3は3次対称群で、σは結合法則が成立するので、σに依存しているAσに対しても結合法則は成立」 という1行だけで証明したことになりますか。 結合法則を証明する理由の、「σは結合法則が成立するので」、というのがだめです。 結合法則とは (Aσ Aσ')Aσ" = Aσ (Aσ' Aσ") でした。 しかし、Aσはそもそも行列ですよね。 一般に3×3行列A、B、Cに対して、結合法則 (AB)C = A(BC) は成り立つんですよね。 だったら、・・・・・。

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質問者からのお礼

>一般に3×3行列A、B、Cに対して、結合法則 (AB)C = A(BC) は成り立つんですよね。 普通には成り立つんですが、この場合6個の行列だけを見ているので、成り立つのかどうかは言えない気がするのですが・・・。(実際は成り立っているのですが)

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

題意の6個の行列からなる集合をGとおく Gの任意の3要素A,B,Cに対して これらは行列であるので通常の積に関して 結合則 (AB)C=A(BC) が成立する. 結合則に関してはこれだけのことでしょう それよりも・・ ・積の演算がGで閉じているのか ・逆元が存在しかつGに属するのか の方がよっぽど面倒だとおもう sとtをS3の要素として (As)(At)=A(st)なんてことがいえれば それでOKなんだけど, これは自明じゃない なんか勘違いしてるかな・・

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