折れ線の長さ

質問

「折れ線の(曲線としての)長さは、各線分の長さの和である。」
という例がありました。
他のどんな取り方をしても、線分の長さ以下であることを言えばいいのですが、
頭では、理解できてますが、うまく説明できません。
どのように示したらいいか、お願いします。

回答No.2

31415926 · ベストアンサー

始点P,終点Qの折れ線Lがあったとして，
P=P_0, P_1,P_2, ... ,P_n=Qをl上の点として
P_i達を結ぶ折れ線をL'とするとき
L'の折れ線長 <= Lの折れ線長
(折れ線長とは折れ線の線分の長さの和)を
示せばよい．
左辺= Σ(線分P_iP_{i+1}の長さ)
右辺= Σ(P_iからP_{i+1}までのLに沿った折れ線長)
なので，
(線分P_iP_{i+1}の長さ) <=
(P_iからP_{i+1}までのLに沿った折れ線長) ---(*)
を示せばよい．
P_iからP_{i+1}までの間の折れ線Lの
折れている点(P_i,P_{i+1}も含めることにする)を
P_i=Q_0, Q_1, Q_2, ...,Q_k=P_{i+1}とする．
すると
(*)の右辺 =
(Q_0Q_1の長さ)+ ... +(Q_{k-3}Q_{k-2}の長さ)
　　+ (Q_{k-2}Q_{k-1}の長さ)+ (Q_{k-1}Q_kの長さ)
であるが，ここで三角不等式より
>= (Q_0Q_1の長さ)+ ... +(Q_{k-3}Q_{k-2}の長さ)
　　+ (Q_{k-2}Q_kの長さ)
>= (Q_0Q_1の長さ)+ ... +(Q_{k-3}Q_kの長さ)
...
これを繰り返すと最後には
>= (Q_0Q_kの長さ) = (P_iP_{i+1}の長さ)

となる．よって(*)が言えたので題意が証明できた．

多分hamondさんはこういった議論をなんとなく
わかっておられると思いますし, No.1の方のヒント
は本質を突いておられます．ただ，質問にある
「どのように示したらいいか」というのは
「どのように説明をしたらいいか」という
質問であるように感じられましたので，
やや詳しく書かせていただきました．では．

お礼

参考になりました。解決もできました。
ポイントにてお礼の気持ちとさせてもらいますね

回答No.1

sunasearch

下記の三角不等式が、参考になるのではないでしょうか。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F