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Sin3θ ,cos3θ
masudayaの回答
- masudaya
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皆さんが加法定理の応用なので別の方法を紹介します. ド=モアブルの定理を利用するものです. 定理自体は exp(inθ)=(exp(iθ))^n というたいそうシンプルなものですが, これとオイラーの公式 exp(iθ)=cosθ+i*sinθ をもちいると cos(nθ)+i*sin(nθ)=(cosθ+i*sinθ)^n となるので,n倍角の公式が導けます. (この方法の利点は低い次数の倍角の公式を知らなくても,高い次数の倍角の公式が導けることくらいでしょうか) これで3倍角の式は cos3θ+i*sin3θ=(cosθ+i*sinθ)^3 =(cosθ)^3+3i((cosθ)^2*sinθ)-3(cosθ*(sinθ)^2)-i(sinθ)^3 =(cosθ)^3-3*cosθ*(sinθ)^2 +i(3*(cosθ)^2*sinθ-(sinθ)^3) =cosθ((cosθ)^2-3*(sinθ)^2) +i*sinθ(3*(cosθ)^2-(sinθ)^2) =cosθ((cosθ)^2-3*(1-(cosθ)^2)) +i*sinθ(3*(1-(sinθ)^2)-(sinθ)^2) =4*(cosθ)^3-3*cosθ+i(3*sinθ-4*(sinθ)^3) と求まります.(結構しんどいですね)
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