有限群を求める問題

質問

代数学で出された問題の一部なんですが、はっきり言ってさっぱり分かりません。

｛φ｜φ：R→R｝の部分集合Fを適当に選んで、f、g∈Fに対し、f・g(x)＝f(g(x))と・を定義する。
ここに、Rは実数の集合を表す。

(1)<F,・>が位数2の有限群になるFを求めよ。
(2)<F,・>が位数4の有限群になるFを求めよ。

まず、問題にはいる前の説明のところから分かりません。

>f、g∈F

ということなので、f、gは1とか2などの具体的な要素かと思ったんですが、

>f・g(x)＝f(g(x))と・を定義する

とあるので、fとgは要素ではなく関数ということなんでしょうか？

でもそれだとf、g∈Fの意味がイマイチ分からないし…。

どなたか分かる方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

kentarou2333 · ベストアンサー

まず、
f:R→R
とか
g:R^2 → R
というのは分かりますでしょうか？

ここでは、f は、１変数関数で、g は２変数関数ですよね。

そのため、{f|f:R→R}とかけば、これは１変数関数の集合ですよね。

ここで、問題文の表記に戻ると、
　F というのは、１変数関数の集合
　f ∈ F というのは、f は１変数関数の集合の元（つまり１変数関数）
ということです。

というわけで、問題文を読み砕くと、

１変数関数 f, g に対して、(f・g) という結合を f・g(x) = f(g(x)) とする。
このとき、１変数関数の部分集合で、位数が２（又は４）になるものを求めよ。

という形だと思います。

まず、位数が２のものの例は簡単ですよね。
#2 さんも書かれているように、
　　f(x) = x
　　g(x) = -x
というように定義して、
　　F = { f, g }
と考えれば、f と g は位数２の１変数関数の部分集合になります。

例を求めよと書いていないので、一般に求めるのであれば、
　　f(x) = x
　　g(x) =　┌ x ( x ∈ A )
　　　　　　└ -x ( x ∈ ￢ A )
　　ただし、A ⊂ R

となります。
位数４のものはちょっと難しいかも。
ちなみに、#2 さんのは間違っていて、F の要素は、群をなすためには、
どれも全単射である必要があります。
これは、群であれば逆像（逆関数）が存在する必要があるからです。

位数２の一般解にヒントが隠されていますので、考えてみてください。

長文になってしまい失礼しました。

お礼

こんな長文の回答本当にありがとうございます。
問題も分かりやすいように噛み砕いて書き直してくださっていて、至れり尽せりですね。

ただ、ちょっと分からないんですが、

＞g(x) =　┌ x ( x ∈ A )
＞　　　　└ -x ( x ∈ ￢ A )

の『￢ A 』とはなんなのでしょうか？
『-A』とは違うのでしょうか？