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n段の階段の上り方
この前家庭教師で小6の算数を教えていた時の問題で、 「階段を登るのに、1段、2段、3段の3種類の登り方が できます。今6段の階段を登るのに何通りの方法がありますか。」 これは簡単です。上手に数え上げれば24通りとできました。 で、「n段の階段を登るなら何通りか?」って考えてみましたところ思ったより難しい。 一応できた所まで書いてみます。 n段の階段をP(n)通りで登るとすると P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3) ただしnが4以上の時 P(1)=1 P(2)=2 P(3)=4 ここまで漸化式はできました。 ここからが「?」なんです。 分かる方教えてください。 途中までもあっているか、勝手に考えた問題なので 解けるかどうかも分かりません。
- otas
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- guiter
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またまた、この漸化式が出てきました。 いろいろな問題ができるものですね。 まず、 P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3) の特性方程式 x^3-x^2-x-1=0 の3つの解をα、β、γとすると U=(19/27-√(11/27))^(1/3) V=(19/27+√(11/27))^(1/3) として α=(U+V) + 1/3 β=-(U+V)/2 - i(√3)(U-V)/2 + 1/3 γ=-(U+V)/2 + i(√3)(U-V)/2 + 1/3 と書くことが出来ます。これら3つの解を用いると P(n)=-1/{(α-β)(β-γ)(γ-α)}*[(β-γ){P(3)-(β+γ)*P(2)+βγ*P(1)}α^(n-1) + cyclic ] となります。 詳しくは参考URLをご覧になってください。
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