新・物理入門（駿台文庫）で学んでる方・学んだ方ご指導ください。

質問

新・物理入門を勉強しています。どうしてもｐ２５０の式の導出が理解できません。（スリットを通った光の振幅について ）質問「単スリットの回折：問題設定、幅Ｄの１本のスリットＡＢに垂直に入射する平面波をかんがえる。・・・、スリット上にＮ個の点波源がｄ＝Ｄ/Ｎの間隔でならんでいるとし、そこからじゅうぶん離れたスクリーン上の１点Ｐ(スリットから角度θの方向）に来る光に着目する。（途中略）・・・、θ→０よりA(0)=Naを導き、振幅をA(θ）＝A(0)｜ｓin{NπD(sinθ）/λ｝|/|Nsin{πD（ｓinθ)/λ}この結果は有限個の波源からの波の重ねあわせだが実際には無限個の波源があるのだから、ここでNｄ＝D(一定）のまま、ｄ→0、N→∞の極限をとりA(θ）＝A(0)｜ｓin{πD(sinθ）/λ｝｜/｜πD（ｓinθ/λ）｜を
導いていますが、N→∞の極限をとっているのにA(0)がそのままなのが理解できません。」
ご指導をお願いします

回答No.9

cloud-lab · ベストアンサー

＞この考え方ですと新物の合成の計算はできません。（aが変数となって）

これはなぜ？
aをNの関数としてa(N)におきかえたら合成の計算はそのままできるんじゃないですか？
aがiの関数ならΣのところで引っかかりますが、Nだから結局ここでは定数扱いです。
そのあとN→∞とすることで、離散的な点光源を幅一定のところに無限個並べて連続分布としてます。

お礼

＞aがiの関数ならΣのところで引っかかりますが、結局a(i)＝a(N)とすれば、合成計算はうまくいく。わかりました。ご指導ありがとうございました。（何度も）

回答No.8

cloud-lab

＞点光源が有限個ある場合の点光源と連続な区間の中の点光源は、区別するのですか？（点光源の振幅は、限りなく０に近いとか）。

区別というか・・・比較してもあまり意味がないと思います。
No.5の導き方では微小区間Δxから出る波動はψ(x)＝aΔxsin(ωt-2πxsinθ/λ)と表されます。
aは比例定数です。
一方、新物理入門の導き方ではNスリット→単スリットと考えています。
Nスリットのi番目のスリットから出る波動はψi＝asin(ωt-(i-1)α)と表されます。
aは１つのスリットからくる振幅です。
ただ、何度も言うように、N→∞とするとき、Dは一定なわけですから、左側から来る強度は一定であり、aはNに依存して変化します。
あとは数学的な計算だけです。

＞重ね合わせの原理は、点波源の合成で扱っています。連続な場合の原理は、どう述べることができるのでしょうか。また、離散量のときの重ね合わせの原理から導くことはできないでしょうか。

重ね合わせの原理は波動方程式から直ちに導かれます。
よって一般に波動と呼ばれるものはすべて重ね合わせの原理が成立します。

こんな回答でいいのかな？

補足

何度もすいません。ご指導を受けて理解が深まってきています。ただ、新物では、連続に分布する光源からの、ある点に届く光の振幅を、ｎ個の点光源（離散）の合成から連続に分布する光源の振幅の式を導出しています。＞N→∞…aはNに依存して変化します。この考え方ですと新物の合成の計算はできません。（aが変数となって）ご指導を宜しくお願いします。

回答No.7

cloud-lab

無限小の数を無限個足して有限になることはよくあることです。
たとえば簡単にy=f(x)(0≦x≦1)(f(x)≧0)に対して、区間0≦x≦1をΔx=1/nずつに分割すると左端がx=i/nの区間での高さはf(i/n)です。
このときy=f(x),x=i/n,x=(i+1)/n,y=0ではさまれる微小面積はf(x)Δxと近似されます。
このときy=f(x),x=0,x=1,y=0ではさまれる面積はi=0～n-1でΣをとってn→∞としたもの、すなわち
　S＝lim(n→0){Σ(i=0～n-1)f(x)Δx}＝∫(0→1)f(x)dx=(有限)
となるはずです。(これはたぶんお分かりのとおり、微積分の基本ですね)

ここで、後から見ると微小面積f(x)Δx→0であり、微小面積の総数n→∞となっています。
微小面積は無限にあるから面積は無限になるはずだ！とはなりませんよね。

大事なのは、数式の意味を考えるのであれば'ひとつひとつ'考えることです。
この数式の変形において個々が理解できれば全体の確かさも保証されます。

たとえ感覚的に受け入れられなくとも真であるものはよくあります。
相対論もそうですし、不確定性原理とかいう話も感覚的にはよく分からないものだと思います。
まあ僕は高校物理＋αぐらいしか知識を持っていないのでよく知りませんがね(^^;

とにかく、仮定から数式で示された限りそれが現実だということなのではないでしょうか。

補足

ご指導ありがとうございます。無限小の数を無限個足して有限になることはよくあることです。（面積の例はわかります。）点光源が有限個ある場合の点光源と連続な区間の中の点光源は、区別するのですか？（点光源の振幅は、限りなく０に近いとか）。重ね合わせの原理は、点波源の合成で扱っています。連続な場合の原理は、どう述べることができるのでしょうか。また、離散量のときの重ね合わせの原理から導くことはできないでしょうか。何度もすいませんがご指導ください。

回答No.6

cloud-lab

先の矛盾の意味が分からないのですが・・・。
念の為言っておくと、新物理入門に書かれているaと僕の書いたaとは別物です。

要するに、Nスリットは離散量であり、普通にΣをとればいいのですが、単スリットの場合、その隙間は連続量であり、これはべったり(？)と足さなければおかしなことがおきてしまうのでΔを使って積分しましょう、ということです。

新物理入門からの引用ですが、・・・と書こうとしましたがダメっぽいので、力学の単振動の3ページ目ぐらいに(僕のは旧版なので)書いてある「こういう計算は、学生諸君にははじめのうちは大変奇妙に思われるようで、とかくその『意味』なるものを追求しがちだが、・・・」というところを読んでみよう！

それから、「微小区間の大きさは振幅の大きさに比例する」ということについて。
まず、ホイヘンスの原理から、微小区間に含まれる各点から素源波が生じます。
ここで、例えば微小区間が２倍になれば、素源波の量も２倍になり、(位相がほとんど同じなので)重ね合わせの原理より生じる波の振幅も２倍になります。
このように微小区間からの波による振動の振幅は、微小区間の大きさΔxに比例します。

補足

ご指導ありがとうございます。
＞Nスリットは離散量であり、普通にΣをとればいいのです・・・(1)（重ね合わせの原理から理解できます）
＞単スリットの場合、その隙間は連続量であり「例えば微小区間が２倍になれば、素源波の量も２倍になり、波の振幅も２倍になります」・・・(2)（なんとか理解できました）
しかし、(2)に矛盾を覚えます。微小区間と言えどものそこに素源波は無数にあるから重ね合わせの原理から振幅は無限大になるのでは。(1)から(2)を導くことはできるのでしょうか。

回答No.5

cloud-lab

No.4です。
というか、ψo＝asinφで与えているところからして問題ですよね。
ここは単スリットをΔxずつの微小区間に分割し、微小区間の位置を一端からの距離xで表して、各微小区間を波源として計算すべきだと思います。

微小区間の大きさは振幅の大きさに比例するので
　ψo＝aΔxsinφ＝aΔxsinωt
とおくと、位置xの微小区間からの波による振動は
　ψ(x)＝aΔxsin(ωt-2πxsinθ/λ)
これらを足し合わせると
　ψ＝ΣaΔxsin(ωt-2πxsinθ/λ)
　　＝∫(0→D)asin(ωt-2πxsinθ/λ)dx
　　＝aλsin(πDsinθ/λ)/πsinθ・sin(ωt-πDsinθ/λ)
したがって
　A(θ)＝aλsin(πDsinθ/λ)/πsinθ
とおくと、
　lim(θ→0)A(θ)＝aD
で一定ですね(^^v

補足

ご回答ありがとうございます。
　　（振幅、位相を同じとして）
　(1)>微小区間(点光源無限）の大きさは振幅の大きさ　　に比例するので
　　　ψo＝aΔxsinφ＝aΔxsinωt
　(2)n個の点光源a（sinωt）
　　を足し合わせるとnasinωt
　　　(1)の振幅aΔxで,(2)の振幅na
　　ここに矛盾を覚えます。つまり、
Δxはいくらでも小にとれるから、aΔxをいくらでも小にとれ、naはいくらでも大きくなる。
　迷路に迷い込んだみたいです。ご指導を宜しくお願いします。また、
　>微小区間の大きさは振幅の大きさに比例する＞
ここが、よく、わかりません。（点光源の場合は理解できますが）　

宜しくお願いします。

回答No.4

cloud-lab

質問を見てかなり悩んでしまいました(^_^;

ここでは、単スリットのモデルとして、単スリットをN個に分割したNスリットを考えてそれらの波を重ねあわせ、N→∞(d→0)とすることを考えています。
ところがこの単純なモデルではN→∞としていますが、これだと幅Dの単スリットから無限の光が振幅aで出ていることになって当然A(0)は無限になってしまう。
そこでA(0)をある定数として考えているのではないでしょうか？
ということはa→0としているということです。

量子力学では光は粒子のように振る舞いますから、現実にはA(0)＝∞はありえませんよね。

間違っていたらすみませんm(__)m

回答No.3

quicksilver

じゃあ違う考え方をしようか

前提が点波元だから
ものすごく弱い光だといえる
つまりaは限りなく０に近い
だからNをいくら大きくしても
Naはそんなに大きくならない
よってNa=一定

これでもだめ？

回答No.2

quicksilver

光の波の式において
振幅は光の強さをあらわしてます。
（正確にはその二乗（この問いならa^2)です）

この問いでは最初スリットの数をNとおいたとき
そのスリットを通る光の強さをaとしてます。
ではスリットの幅を小さくしていったら
（Nを無限に近づけていったら）
光の強さを表すaはどうなるだろうか

スリットを小さくするんだから
そこを通る光の強さは弱くなります。
つまりaは０に近づいていきます。

a=定数だとなっていますが
これはスリットの数をNという定数だと
しているときの定数なわけで
Nが変化すればaも変化します。

だからｄ→0、N→∞で
Nｄ＝D(一定）と同じように
Na=一定だということができます。

補足

ご回答ありがとうございます。設定は、>最初スリットの数をNとおいたとき>ではなく、単スリットです。また、＞スリットの幅を小さくしていったら＞ではなくスリット幅Ｄは定数です。＞Nが変化すればaも変化＞ではなく、各点光源の振幅は定数aです。ご指導を宜しくお願いします。（図書館で調べたり、何度も時間をかけて考えましたがわかりません。）

回答No.1

quicksilver

この"a"についてだけど
これはひとつのスリットを通る光の振幅だよね。
このときスリットの数Nを∞にすると
ひとつのスリットを通る
光の強さは弱くなっていくから、
a～０っていえるとおもう。
だからｄ→0、N→∞で
Nｄ＝D(一定）と同じように
Na=一定て言うことがいえるんじゃないかい？

補足

ご回答ありがとうございます。単スリット（幅D)上にＮ個の点波源（等間隔）に並んでて、各点波源の振幅は、すべてa（定数）という設定です。
ご指導をお願いします。