数学の勉強法

質問

現在社会人で、数学とはほとんど無縁の生活を送っています。（無縁なわけではないのですが、面倒なことはコンピュータに任せてしまっているので、原理がさっぱりわからないのです。）実務上の必要性や、視野を広げるために個人的に興味がわきまして、集合論、確率論、解析学などを趣味という程度で勉強してみたいと思います。

ちなみに当方理系の大学は卒業してはいますが、数学はほとんど勉強していなかったので、大学の教養課程くらいの知識から現代数学の入門ができればと思っています。数式は苦手ですが、きちんとわかりやすく書いてあればがんばって読み通します。

何かよい勉強方法や参考書があれば教えてください。入手しやすい本であれば洋書でもかまいません。よろしくお願いします。

回答No.9

prome

>本日、集合とと位相についての入門書を手に入れました。
>集合を勉強して、線形代数か微分積分学に行きたいと思います。線形代数と微積では、
>どちらが先にやるべきものかわかりますか？なるべく簡単なことから初めて、難しいこ
>とに進んでいきたいと思っているので。

それは何を目的にするかで順番が違います。
私の通った大学の数学科では、線型代数も微積分も１回生でさらっと流し、
２回生でより厳密に勉強しました。つまり同時進行なのですが、
これは４回生のゼミで何を専攻するか、この時点で決まっていないからです。

私の考えでは、代数学または幾何学をするのなら、線形代数はしっかりと
押さえておいた方がいいので、先にしておきます。
極端にいえば、微積分は知らなくてもある程度先に進めます。

解析学をするのなら、微積分は大事です。といいますか、解析学はほとんど
微積分の話ですね。線型代数はあまり知らなくてもいいように思います。

位相の本も入手されたそうですね。この位相は幾何学、解析学をするのなら、
勉強の必要があります。

幾何学の場合、位相の知識は位相幾何学はもちろんのこと、多様体論でも必要です
から、しっかりとやっておく必要があります。
解析学ならそれほど深入りしなくていいですが、ε－δ論法の理屈や
「ハイネ・ボレルの被覆定理」は知っておいた方がいいでしょう。

表にまとめると
　　　　　代数学　　位相幾何学　　微分幾何学　　解析学
　　　　　　　　　　　　(トポロジー)　（多様体論）
集合論　　　　　△　　　　　△　　　　　　△　　　　　△
線型代数　　　　○　　　　　○　　　　　　△　　　　　×
微積分　　　　　×　　　　　△　　　　　　○　　　　　○
位相　　　　　　△　　　　　○　　　　　　○　　　　　△

といった感じでしょうか。○は必須、△はある程度は必要、×はそれほど必要ない
の意味です。
あくまで思いきって絞った結果であり、必要ないといっても考え方は知っておく方が
よいと言えます。

お礼

たびたび詳しいことを教えていただきありがとうございます。本当に感謝いたしております。

私も、自然科学の研究者の末席を汚しているものですが、つい先日書いた論文で自分の統計的処理の甘さから論文の弱点をぼろくそに指摘され、自分の至らなさを痛感いたしました。（また、非常に悔しい思いをしましたので、いつかこの雪辱をしてやろうと燃えております）確かに、私は実験データの処理をスタットビューとか、ＳＰＳＳを使っていたので、今まで統計について無頓着でありました。

今回のことをきっかけに、数学に強い研究者へのステップアップを図ろうとした次第です。素人考えで、私のもっとも興味のある確率論、統計数学は解析学が必要なのではないかと考えたのですが、こういう場合はやはり解析学をメインにすべきなのでしょうか？この前買って読んでいる本には集合についてと、位相の初歩のことが書いてありました。

ともあれ、実務上のこと云々もありますが、prome先生の回答によって、今まで眠っていた理系魂がよみがえってきたように感じました。数学がこんなにおもしろそうなんて感じたのは生まれて初めてです。私は普段は医師として忙しく働いているのですが、数学も真剣に取り組んでみようと思いました。

そういう意味で、実務上のアドバイスをいただけたことと、数学の魅力についてお教えいただけたことに非常に感謝しております。本当にありがとうございました。