グラフの書き方

質問

y=x^3-3x^2+4x　の極値を調べ、そのグラフをかけ。

まず、微分しますよね
y'=3x^2-6x+4 となり

極値を求めるために
y'=0とし、因数分解をしますよね！
したら解が虚数解になりました。

このあと何したらいいのですか？
解答見たら平方完成していました。
何で平方完成しているのですか？
また増減表も符号だけになっていました。
どうしてですか？

できる限り、わかりやすく教えてください。お願いします。

回答No.3

takeji365

まずは微分せずに式から読み取れることを考えます。

y=x^3-3x^2+4xはx^3の係数が正なので、グラフは右肩上がりだと分かります。
また、x軸と交わる位置を求めるために、
y=x^3-3x^2+4x=0を計算すると、x=0のみが得られます。
これはグラフが原点のみでx軸と交わるということを表しています。
（余談ですが、もしy=0を解いた結果、異なる3つのxが得られた場合には、それだけでグラフの大体の形は分かります。つまり、x軸上にその3点を打ち、アルファベットのSを横にしたようなグラフを描けばよいです。）

次に導関数を求めて傾きについて考えます。
微分して得たy'=3x^2-6x+4=0を解いても、xの実数解は得られません。
つまり、x軸上のどのようなxに対してもy'=0とはならないことが分かります。（今はyは考えず、y'についてのみ考えているので注意。y'はyの傾きを表す関数。）
値が正から負（あるいは負から正）に変わるときには必ず０を通るので、y'は常に正、または常に負のどちらかでしかありえません。

ところが、y'=3x^2-6x+4はx^2の係数が正であり、常に負と言うことはありえないので、y'は常に正だとわかります。
これをはっきり示すために、ちょっとしたテクニックとして平方完成を用います。
平方完成すると、y'=3(x^2-1)^2+1となり、第一項は0以上なので、どんなxに対してもyの傾きy'について、y'＞０が言えます。
よって増減表にはxの値に関わらず、＋と書き込みます。

さて、平方完成の式からはさらに、x=1のとき、y'は最小値１をとるということが読み取れます。
これは、平方完成の第一項が0となることから分かります。
よって、x<1，1<xでyの傾きy'は1より大きく（急であり）、x=1のときに傾きがちょうど1となることがわかりました。

以上の情報を総合してグラフを描きます。
即ち…
・右肩上がりで原点でのみx軸と交わり、
・x=1のとき傾きは1、それ以外のxでは傾きが1より急である、
ようなグラフです。
x=1のときのyの値も書き込んでおくと良いでしょう。

コツとしては、極値と言われたからといってなんとなく微分するのではなく、
y'は傾きを表しており、y'を考えることは傾きについて考えていることなのだ、ということをしっかりと意識することでしょうか。

また、平方完成は、2次式の値が常に正であることを示す際に良く用いられる手段なので、こういうやり方があるのだと覚えておくと良いでしょう。