数学の問題です。解き方がわからず手がでません・・・

質問

いかなる3桁の数も、各位の数字を大きい方から順にならべた数と、小さい順に並べた数との差をつくり、得られた数について、さらにこの操作を繰り返すと、いつかは必ず４９５になる。
という問題なんですが、電卓でやると本当になるんです。ビックリしました。でもいざ証明しようとなるとどう考えればいいのかがわかりません。解き方がわかる人いましたら教えて下さい。

回答No.4

poohron · ベストアンサー

とりあえず、「いかなる3桁の数も」というのはちょっと違いますね。
３桁とも同じ数字の場合は0になってしまうのでダメです。
それと、２つの同じ数字とそれよりも1小さい数字の組み合わせの場合は差が99になってしまいます。
（これは99＝099として無理やり３桁に置き換えてしまえば良いですが…）

さて、それでは「３つの数字の内、少なくとも一つは異なる数字である」という条件をつけましょう。

大きい順に３つの１桁の数字をそれぞれp,q,rとします。
条件「３つの数字の内、少なくとも一つは異なる数字である」より、p>r

大きい順に並べた３桁の数字は、100p+10q+r です。
小さい順に並べた３桁の数字は、100r+10q+p です。
２つの差は、99p-99r
すなわち、99(p-r)であり、必ず99の倍数になります。
p>rなので、p-rの取り得る値は1～9のいずれかの整数です。

ここで、p-rをnと置き換えます。
99(p-n)=99n
=100n-n
=100(n-1)+100-n
nは1～9のいずれかの整数なので、100-nは91～99のいずれか。
そこに100の倍数を加算するので、
大きい方から順にならべた数と、小さい順に並べた数との差（=99(p-r)）の10の位は必ず9です。

9の倍数の全ての桁を足し合わせた数は、必ず9の倍数になるという性質を利用すると、
100の桁と1の桁の組み合わせは以下の4通りしかありません。
1と8、2と7、3と6、4と5

ここでちょっとp-rについて考えてみましょう。
最初に、pは3つの中でいちばん大きな数、rはいちばん小さな数として定義しましたよね。
99(p-r）の10の位は必ず9ということが既に判明してますから、p=9
rは先ほどの4通りの組み合わせから、1～4のいずれかです。
ということは、p-rは5～8のどれかになります。
つまり、99(p-r)は、
p-r=5のとき495（一番小さな数は 4）→9-4＝5
p-r=6のとき594（一番小さな数は 4）→9-4＝5
p-r=7のとき693（一番小さな数は 3）→9-3＝6
p-r=8のとき792（一番小さな数は 2）→9-2＝7

p-rが5以外のときは、次に出来るp-rはその前に出来たp-rと異なります。
p-r=5の時のみ出来る数字は変わらず、最終的には（ゾロ目以外の）全ての3桁の数字が 495になります。

う～ん、長すぎて訳わかんなくなっちゃったかも…。

お礼

う～ん、、考え方がわかった気がします。もうちょっと考えてみます。
ありがとうございます。

回答No.18

rinri503

証明らしきものができてので検討してください
　今任意の３桁の数があり、ａ≧ｂ＞ｃとする
　１０＾２ａ＋１０ｂ＋ｃ－（１０＾２ｃ＋１０ｂ＋ａ）
ここで当然１位がｃ－ａ＜０だから、また１０位が同数だから、１０，１００だけかしてやらねばならないから
　＝１０＾２（ａ－ｃ－１）＋１０（ｂ＋１０－ｂ－１）
　　　　＋（ｃ＋１０－ａ）
　＝１０＾２（ａ－ｃ－１）＋９０＋（ｃ＋１０－ａ）

　（１）（ａ－ｃ－１）≦（ｃ＋１０－ａ）のとき
　　　　　すなわち　ａ－ｃ≦５のとき　・・（１）
　　最大値９だから
　　　９００＋１０（ｃ＋１０－ａ）＋（ａ－ｃ－１）
　　－｛１０＾２（ａ－ｃ－１）＋１０（ｃ＋１０－ａ）　　　　　　　　＋９｝
　＝１０＾２｛９－（ａ－ｃ－１）－１｝＋
　　１０｛１０＋（ｃ＋１０－ａ）－（ｃ＋１０－ａ）－　　　　　　　１｝＋｛１０＋（ａ－ｃ－１）－９｝
　＝１０＾２（９－ａ＋ｃ）＋９０＋（ａ－ｃ）

　　いま、９－ａ＋ｃ＝ｔとおくと　
　　　　　ａ－ｃ＝９－ｔ　・・・・（２）

　　　これを（１）に代入して
　　　９－ｔ≦５　　よってｔ≧４
　したがって百位は、４が最小で
　　　このとき　ｔ＝４のとき　１位は（２）より　５
　　よって　４９５に帰着する
次に
　　　（１）（ａ－ｃ－１）＞（ｃ＋１０－ａ）のとき
　　　　　　すなわち　ａ－ｃ＞６のとき　・・（３）
　　　　　同様に計算すると
　　１０＾２（ｃ－ａ－２）＋９０＋（１１＋ｃ－ａ）
　　　となる。
　　このとき　ｃ－ａ－２＝ｔとすると　　
　　　（３）に代入すると　ａ－ｃ＝－ｔ－２＞６
　　　　より　ｔ＜－８　となり不適である
　　以上の結果より　証明できた
　　、

回答No.17

yasu44

NO.6さんの解答とほぼ同じかも知れませんが、
少しシンプルにしました。
任意の N=100a+10b+c において、
a>=b>=c>=0　とおいてよい(a=b=c ではない)
[1]Q_1=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)
ただし a-c=1～9
[2]a-c=1 のとき、
Q_2=990-099=891　これは、a-c=9　である

[3]a-c=9 のとき、
Q_3=981-189=792　これは、a-c=8　である

[4]a-c=8 のとき、
Q_4=972-279=693　これは、a-c=7　である

[5]a-c=7 のとき、
Q_5=963-369=594　これは、a-c=6　である

[6]a-c=6 のとき、
Q_6=954-459=495　これは、a-c=5　である

[7]a-c=5 のとき、
Q_6=954-459=495　で、以下繰り返す

結局最大６ステップで495に到達する
＜例＞112→099→891→792→693→594→495

回答No.16

ryn

No.15 さん：
面白いページの紹介ありがとうございました．

2進あたりでやったほうが見通しが立ちやすいかな
とは思っていたのですが，r進n桁でやるとは…

回答No.15

adinat

本論から少しそれますが、この数をカプレカー定数と呼んでいて、r進数のn桁に一般化する問題が考えられています。10進数3桁の場合のカプレカー定数が495というわけです。

ryn様へ。下記の参考URL面白いですよ＾＾

参考URL：

http://www.wschnei.de/digit-related-numbers/kaprekar-process.html

回答No.14

kansai_daisuki

No.8さんへ：
>ここで、a＞c+1であることに注意してください。

a=c+1のとき、
[a|b|c]－[c|b|a] ＝ [a-c-1|9|10+c-a] ＝ [0|9|9]
となるため、3桁の整数であるためには、
a＞c+1でなければならないという着想は理解できますが、
どのように、この着想を思いついたのでしょうか？

素直に素晴らしいと思いました。

回答No.13

kansai_daisuki

No.11さんへ：
申し訳ないです。ありがとうございます。
今後とも、精進いたします。

No.12さんへ：
>この問題はすべての桁の数字が異なる3桁の数字でないと成り立ちません。

そのようなことはないのでは？
3桁の数字が全て同じの場合は、0に帰着しますが、
同じ数字が2つ以内であれば、495に帰着します。

以下に、反例を挙げます。

881-188=693
963-369=594
954-459=495

回答No.12

TonyB

この問題はすべての桁の数字が異なる3桁の数字でないと成り立ちません。

きちんとした証明ではないですが各桁の数字が異なる3桁の数を並べなおしてできた2つの数100a+10b+c、100c+10b+a(a>b>c)からについて
S1=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100(a-c)+(c-a)=99(a-c)
a-c=D1とすると2<D<9で
S1=100(D-1)+90+(10-D)となります。
こうしてできる各桁のうち明らかに一番大きいのは9
小さい数はD-1か10-Dになります。
D=5のときはS1=99×5=495で終了
D>5のとき同じ操作を行なったときの差をS2とすると10-D<D-1
S2=99{9-(10-D)}=99(D-1)
同様にD-1=5ならS2=495となり終了
同様にS3=99(D-2)・・・とSn=99(D+1-n)=495となるまで繰り返すことになります。
D<5のときは同様に
S2=99(10-D)で10-D＞5なのであとはD>5の証明と同じなので省略します。
結局最初にどんな数字を選んでも
99×2→99×8→99×7→99×6→99×5=495となる訳です。
雑な証明ですのであとはご自分でエレガントな証明にしてください。

お礼

ありがとうございます。ELEGANTな証明頑張ります(笑)

回答No.11

ryn

> 任意の3桁の数字は3度目以内に594になりますが、
> 今回は495に帰着することを証明しなければならないのでは？
その場合は「s-1＜t+1となった場合」に相当するので，
あと1回の操作で495に行き着くことは証明されているのではないでしょうか．

横槍でしたm(_ _)m

回答No.10

kansai_daisuki

No.7(No.6)の者です。
No.7とNo.6で、同じ証明がアップされておりすみませんでした。

　ところで、shkwtaさんの「3回以内にs＝5, t＝4になります。」とあります。確かに、(990⇒)891⇒792⇒693⇒594(⇒495)において、891から3度目で594になるように、任意の3桁の数字は3度目以内に594になりますが、今回は495に帰着することを証明しなければならないのでは？
　蛇足ですみません。

お礼

指摘ありがとうございます

回答No.9

ryn

最近似た質問があって一般化しようとしていたのですが
桁が増えるとなかなか難しくなります．

以下ぞろ目以外の場合の話です．

2桁の場合は最終的な数字はなく循環します．
3桁は質問者さんのおっしゃるように495ですね．
4桁では7回以内に6174に行き着きます．

5桁では
　62964-71973-83952-74943 の形で循環するもの
　61974-82962-75933-63954 の形で循環するもの
　53955-59994 の形で循環するもの
の3通りがありました．

6桁は
　851742-750843-840852-860832-862632-642654-420876で循環
　549945 に収束．
　631764 に収束．
のように循環と収束のパターンがあります．

7桁は全て循環でした．

う～ん，一般化は厳しいです．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1215475