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三次方程式の解について
yaksaの回答
- yaksa
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計算機にやらせるのではなくて、手でやるなら解の公式にたよらないで、(結局同じことですが)考えながら自力でやったほうがいいです。 x^3+u^3+u^3-3uvx = (x+u+v)(x^2+u^2+v^2-ux-vx-uv) = (x+u+v)(x+ωu+ω^2v)(x+ω^2u+ωv) ... (1) という因数分解の公式から出発して、 この左辺と x^3-3x+1 を見比べて、 u^3+v^3 = 1 uv = 1 下の式の両辺3乗して、u^3*v^3 = 1 これから、u^3とv^3は、2次方程式 t^2-t+1=0の2解なので、 u,v={(1±√3i)/2}^(1/3) これを(1)に代入すると、 x^3-3x+1 の因数分解ができます。 したがって、解は、 x=-(u+v),-(ωu+ω^2v),-(ω^2u+ωv) です。 ふつう、 三次方程式の解の公式(カルダノの公式)というと、ここに書いたのと、u,vの符号が反対になってるものが多いと思います。
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