凸集合の定義ってなんですか？

質問

２題よろしくお願いします。
１．平面上の集合ｋが凸集合である定義を述べよ。
２．ｘｙ平面上の凸集合、凸でない集合をそれぞれ例示せよ。
この２題です。さっぱり分かりません。よろしくお願いします。

回答No.5

newtype · ベストアンサー

つまりｙ＝ｘのような直線は凸集合
ｎ角形で一つの辺が内側にはいりこんでいれば凸集合ではない。
ん？まてよ…
さらに盛った目玉焼きを上からだけみると凸集合だ。（へこみがない場合です）
しかし、横からみると凸集合ではない。
つまり、目玉焼きは３次元的にみると凸集合ではない。
どうも線形計画法の問題みたいですね。

お礼

お礼の返事はこの回答欄で一括させてもらいました。
何度も答えてもらってありがとうございました。
失礼します

回答No.4

newtype

ああ、私は勘違いをしていたのですね。
つまり、★（星型）も凸集合ではない。
領域として考えたから間違えてしまったんだーー！！！！。
なるほど、たしかにｘ軸も凸集合ですな。

定義は広辞苑に載ってましたよ。

回答No.3

rabbie

定義は newtype さんがいっていますので、簡単な例をだします。
円「●」（内部を含む）、三角「▲」（内部を含む）、一点のみ「・」、ｘ軸、等は凸集合。
違う例は「く」の字、三日月、など。あとよく言うのは「凸」の字（内部を含む）は凸集合ではないです。

回答No.2

newtype

凸関数を考えればよいのかなあ。
凸集合…ｙ≧ｅ＾x，ｙ≦ｌｏｇｘ，ｙ≧ｘ＾2…ｅｔｃ
凸集合でない…ｙ≧ｘ、ｙ≦ｘ＾3，…ｅｔｃ

凸関数には面白い性質があり、f(x)は区間Ｉで下に凸とし、ａをＩの点とするとき、（関数f(x)が区間Ｉで下に凸⇒f"(x)＞０）
f(x)≧f(a)+f'(a)(x-a)が成り立つ。

証明
F(x)=f(x)-{f(p)+f'(p)(x-p)}とおくと、
F'(x)=f'(x)-f'(p)…（１）

題意よりf'(x)は全実数で連続かつ微分可能だから平均値の定理より、
f'(x)-f'(p)/x-p＝f"(c)
⇔f'(x)-f'(p)=F"(c)(x-p)…（２） (cはpとxの間の数)
なるcの値が存在する。

よって（１），（２）より、
F'(x)=f"(c)(x-p)
仮定より、f"(x)＞０より、f"(c)＞０なので
∴F'(x)の正負⇔x-pの正負
∴Ｆ(x)≧Ｆ（ｐ）＝０
∴題意成立

この式を使うとたとえば相加相乗平均の不等式が求められる。

回答No.1

newtype

１．平面または空間内の集合において、その集合の任意の２点を結ぶ線分がその集合に含まれるような集合。