凸レンズのパラドクス

質問

自分の視点を中心として、そこからある一定の距離（半径）をとり、同心円状にある物体を隙間なく並べます。
その一個の物体の幅は、自分の視点から見て視角１０度とします。

この物体を、その同心円上に隙間なく並べると、３６個（１０度×３６＝３６０度）並びます。
そこで、自分の視点とその物体の間に凸レンズを置きます。

このレンズは、自分の頭とつながって固定されていて、視点の動きとともに一緒に動きます。
このレンズと対象物、レンズと視点の間の距離は常に一定で、このレンズは対象物を２倍の視角に拡大する能力を持っています。
レンズを通して、この物体を見ると一個の物体の視角は２０度となります。

そのまま、ぐるりと一周しながら、レンズを通してこの物体を見ると一個の物体の幅の視角は２０度ですから、３６個全部の物体を見るためには、２０度×３６個＝７２０度、即ち２周、回らなければなりません？？？？。

レンズによる拡大の程度は、常に視角で評価することにして、（別に２倍でなくても拡大さえすれば何倍でもかまいません。）幅の長さでは評価しないことにします。

長さで評価すると、レンズが動くときに拡大した分だけ対象物が速く動くから常に３６０度の中に収まるということになりますが、視角で評価すると対象物の動く速さは関係なく、常に（？）（対象物の視角）×（個数）分の角度、まわらなければなりません。

どこが間違っていますか。

回答No.11

noname#11476 · ベストアンサー

まず、実体験出来る方法としては、
・カメラ（f=100mmが大体視野角２倍程度でしょう）
・ビデオカメラ
・双眼鏡
・望遠鏡
などなどあります。
倍率が高いとよく手ぶれがおきやすくなるのは、自分とカメラの動きに対して視野内の像の動きが倍率分だけ早くなるためです）

さて、どのように説明したら良いのかについて考えてみました。
最も考えやすいのは十分大きい凸レンズが一枚あり、目のレンズ位置（正確には主点位置＝レンズの中央で近似してかまいません）と凸レンズ位置（主点位置）の距離が、凸レンズ位置（主点位置）と物体までの距離と等しい場合で、かつレンズの焦点距離がレンズ位置（主点位置）と物体までの距離に等しい場合です。

この場合の作図は（ちょっと近似的ですが）、
レンズの主点位置から物体の両側までそれぞれ線を引きます。
次に目の主点位置を通り、かつ上の２本の線に平行な線を引きます。
この線の角度は約±１０度（つまり視野角２０度）になっていると思います。
これが、物体が視角２０度で見えるという意味です。

自分の目の光軸が１０度回転したとします。（頭を１０度回転させると言うことですね）
このときにはレンズも一緒に回転させるわけですから、光軸自体は１０度しかずれません。
なので３６０度で一蹴します。

では見えている像はどうなるのか。よくよく考えてみて下さい。レンズは目と物体の中間にあり、レンズは物体に対して位置がずれています。
つまり、単に角度の問題ではなくて、レンズの位置自身がずれたためにその分視野角の移動以上に像は移動します。
ここを考えないと視野角のつじつま合わせの計算では成立しなくなってしまうわけです。
これがパラドックスの正体となります。

これをもう一度おさらいすると、
１）レンズがないときには、視野角は目のレンズの主点位置を基準として視野角が決まる。
２）しかし、レンズがあるときには、レンズの主点位置を基準点として視野角が決まる。
　（視野角を考えるための基準点がレンズに移動する）
３）目とレンズが同時に移動すると、目の見ている中心が移動するだけでなく、視野角の基準点自体が回転移動してしまうので、目に映る像の移動量は、単に視野が回転したとき以上に移動する。

初めの説明で混乱していたらごめんなさい。言葉で説明するのは難しいですね。
では。

お礼

ご丁寧な回答をありがとうございました。「視野角の基準点自体が回転移動」という言葉で霧が晴れた感じです。

それはさておき、
？？？確か、夕方覗いたときは、少し違った文章だったような気がするのですが。
確かに、No11の回答が消えているし、私の認識では、一度投稿するとよほどの理由がない限り回答を消せないと思っていましたが、なにかからくりがあるのでしょうか。凸レンズの謎より興味深いですね。

回答No.4

noname#2089

レンズを使用することにより、視角が2倍になるということは、
その物体までの距離がおおよそ(あくまでもおおよそね!)半分になると
いうことですよね。
つまり、レンズを付けて1周するということは、r/2の円周上を1周するのと同じことです。
だから、視角が2倍になっても、物体の数は変わりません。

パラドックスの原因は、"レンズによる視野の変化を距離に変換していない点"
でしょうか。

間違ってはいないと思いますが、、、

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

角度で評価をすると、視点からの距離に関係なく、視角が２倍になると見える物体の数は、半分になるような気がします。

回答No.3

brogie

いやいや、本当に、おもしろ考えですネ。小生などは考えつきません。しかし、答えは分かるような気がします。

あなたは、頭を10度回転すると、レンズを通して見える像が20度回転しているだけです。頭を20度回わす必要はありません。

ですから、頭はゆっくり回っていても、レンズを通してみる像は２倍のスピードで移動しているように見えるだけです。

では、、、

補足

頭を１０度、回転しているうちに、レンズの中の像が２０度回転すると、レンズの中の像はどんどん先に行って、見えなくなってしまいませんか。

回答No.2

pei-pei

自分の頭を１０度回転したとき、レンズを通して見ている視界は２０度回転するのではないでしょうか。だから、２つめの物体が丁度正面に見えるのでは。

頭を一周させれば、視界は７２０度回転するので３６個全てを見ることができる。

どうでしょうか？

補足

レンズの中の視界が、７２０度回転するということは、レンズの中では２回転している？ということでしょうか。
うーん、私の想像力がちょっとついていけないのですが。

回答No.1

noname#1280

見える「角度」が二倍になるのではなくて「見えているモノの大きさ」が二倍なのでは？

例えば仮に単純に視野角が90°とします
その間に表題にあるレンズを入れたとしても視野角が180°になるとは思えないのですが。
その場合は『視野角90°の中のものが２倍の大きさに見える』のだと思います。

屈折率の違いな気がします。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

別に２倍にこだわらなくてもよいのです。
少しでも視角を拡大できるレンズであれば、３６０度の中に入りきらないような気がしたものですから。