積分の問題です

質問

(1-2η/h)・dη/((η-x)^2+y^2+z^2)^0.5
(積分区間：η＝0、η＝h)
上記を積分をしているのですが、解答と一致しません。参考書なども見ているのですが、解答に近づけそうにもありません。どうかご助言お願いいたします。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

∫[-x→h-x](1-2(ξ+x)/h)dξ/(ξ^2+c^2)^0.5
この場合には部分積分という手法を使うのでしょうか。
足し算ですよね。hが全体にかかっているのか2項目のみなのかですが、2項目だと、
∫[-x→h-x]dξ/(ξ^2+c^2)^0.5
-2/h∫[-x→h-x]ξdξ/(ξ^2+c^2)^0.5
-2x/h∫[-x→h-x]dξ/(ξ^2+c^2)^0.5
ということですね。
以下計算を参照
∫dξ/(ξ^2+c^2)^0.5=log{ξ+(ξ^2+c^2)^0.5}
=[-x→h-x]log{ξ+(ξ^2+c^2)^0.5}
=log{(h-x)+((h-x)^2+c^2)^0.5}-log{(-x)+((-x)^2+c^2)^0.5}
=log{(h-x)+((h-x)^2+c^2)^0.5}/log{-x+(x^2+c^2)^0.5}

∫ξ*dξ/(ξ^2+c^2)^0.5==[-x→h-x](ξ^2+c^2)^0.5
=((h-x)^2+c^2)^0.5-(x^2+c^2)^0.5

お礼

ご丁寧な解説を頂き、心より感謝いたします。
私は文系出身ですので、このようなホームページがあると本当に助かります。
これで、来年初めの仕事もスムーズに行けそうです。
どうか良いお年をお迎えください。

回答No.1

mmky

参考に
(1-2η/h)・dη/((η-x)^2+y^2+z^2)^0.5
y^2+z^2=c^2
η-x=ξ：　-x≦ξ≦h-x
dη=dξ
とでも置けば、つまるところ
∫[-x→h-x]dξ/(ξ^2+c^2)^0.5
∫∫[-x→h-x]ξ*dξ/(ξ^2+c^2)^0.5
の積分が判ればいいだけですね。
これらは、公式集にあるでしょう。

補足

mmky様
ご助言いただきありがとうございます。
これをもとに再度チャレンジしてみたのですが、やはり私の知識不足で解けそうにありません。
もう少し解説いただけないでしょうか。

mmky様のご指摘からすると以下のように置き換えることでしょうか。
∫[-x→h-x](1-2(ξ+x)/h)dξ/(ξ^2+c^2)^0.5
この場合には部分積分という手法を使うのでしょうか。

ちなみにこの答えは下記の通りです。
(1-2x/h)・ln(((h-x)^2+y^2+z^2)^0.5+(h-x))/((x^2+y^2+z^2)^0.5-x)-2x/h(((h-x)^2+y^2+z^2)^0.5-(x^2+y^2+z^2)^0.5)

ご連絡お待ちしております。