liminf の扱い方

質問

ファトーの補題に関する質問です。
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ファトーの補題
∫_X (liminf F_n)dμ ≦ liminf(∫_X F_n dμ)
で
nが奇数であれば F_n = χ_E
nが偶数であれば F_n = 1-χ_E
とおくと、「≦」ではなく、「＜」が成立する。（「＝」とはなりえない）
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ということだそうですが、この場合、左辺、右辺の値はどうなるんでしょうか？

一応、次のように考えましたが、これであっているのでしょうか。
liminf F_n = 0 で (左辺)=0,
(右辺)=liminf(∫_X F_n dμ)
=inf{∫_X χ_E dμ, ∫_X 1-χ_E dμ}
=inf{∫_E dμ, ∫_X dμ- ∫_E dμ}
=inf{μ(E), μ(X)-μ(E)}
[0＜μ(E)＜μ(X)だから(?)]
＞0 (=(左辺))
どなたか、教えてください。お願いします。

元の文章は以下のとおりです。
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Fatou's lemma
If F_n: X→[0, ∞] is measurable, for each positive integer n, then
(1) ∫_X (liminf F_n)dμ ≦ liminf ∫_X F_n dμ
Strict inequality can occur in (1); see Exercise 8.

Excercise 8
Put
F_n = χ_E if n is odd,
F_n = 1-χ_E if n is even.
What is the relevance of this example to Fatou's lemma?

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

すみません。間違えました。
μ(E)が有限でもμ(E)＝μ(X)であればやはり右辺は0になってしまいますね。f(^^;)
(1)の条件は
「Eは可測集合であり、かつ 0＜μ(E)＜μ(X) である。」 ……(1)
と訂正してください。こういう条件にしておけば、μ(X)が無限大でもμ(E)は必ず
有限ということになります。

お礼

ありがとうございます！！

回答No.1

oodaiko

>どなたか、教えてください。お願いします。

大筋としてはいいのですが、
「Eは可測集合であり、かつ 0＜μ(E)＜∞ である。」 ……(1)
という前提条件が必要です。

左辺についてはこのままでOKですが、右辺については(1)の条件を仮定しないと
liminf(∫_X F_n dμ) ＞0
は言えません。

lonerさんが
> [0＜μ(E)＜μ(X)だから(?)] ＞0 (=(左辺))
と自信無げに書かれているのも、多分その点が引っかかっているのだと思います。

ご懸念の通り、μ(E)＝0ならば右辺は0になってしまいます。
また、μ(X)の値は有限でも無限大でも構いませんが、μ(E)の値が無限大になるとμ(X)-μ(E)の値が不定になるので、μ(E)＜∞ の条件も外せません。

# ついでに
右辺については、被積分関数がχ_Eなので「Eは可測集合]という条件も外せません。
しかし、左辺については、その条件すら必要ないことに注意して下さい。
なぜならEが可測集合であろうがなかろうが、
liminf F_n = 0 なので左辺の被積分関数は必然的に可測関数になってしまうからです。