ベクトルの内積

質問

失礼します。どうしてもベクトルの問題でわからないところがあるので質問します。

△OABにおいて,OAベクトル＝aベクトル,OBベクトル＝bベクトルとする。
|ａベクトル＋ｂベクトル|＝2√3,
|ａベクトル－ｂベクトル|＝2,
(aベクトル＋bベクトル)×(aベクトル－bベクトル)＝2であるとき。

|ａベクトル|＝?　|ｂベクトル|＝?
∠AOB＝シーターとすると、cosシーター＝?
△OABの面積は＝?

途中式の解説をお願いいたします。

回答No.2

mixchann · ベストアンサー

以下、記述が煩雑なので、ａベクトルを単にａで表します。ｂベクトルも同様。次に、内積の記号は、一般に、(ａ, ｂ) か ａ・ｂで表します。ａ×ｂは、ベクトルの外積を表すので、反則ですよ。
さて、＃１さんの指摘通りなのですが、もう少し詳しくヒントを書きます。
まず、｜ａ｜＾２＝ａ・ａ の関係(ベクトルの大きさの２乗＝同じベクトルの内積)は必須です。
題意から、
　　｜ａ＋ｂ｜^2 ＝｜ａ｜^2＋２ａ・ｂ＋｜ｂ｜^2 ＝１２　[←(2√3)^2です] (1)
　　｜ａ－ｂ｜^2 ＝｜ａ｜^2－２ａ・ｂ＋｜ｂ｜^2 ＝４　　　　　　　　　　　　 (2)　　
　　（ａ＋ｂ）・(ａ－ｂ) ＝｜ａ｜^2 －｜ｂ｜^2 ＝２　　　　　　　　　　　　　　(3)
そこで、上記(1)(2)(3)から、｜ａ｜^2,｜ｂ｜^2 を求めることができ、従って、｜ａ｜,｜ｂ｜が求まります。
次に、公式 cos(θ)＝ａ・ｂ／(｜ａ｜｜ｂ｜)を使います。内積 ａ・ｂ は、(1)－(2)で求まります。
△ＯＡＢの面積は、これも公式
　　Ｓ＝(1/2)・ＯＡ・ＯＢ・sin(θ)＝(１／２)｜ａ｜ ｜ｂ｜ sin(θ)
から求まります。ただし、(sin(θ))^2＝１－ (cos(θ))^2 を使って、sin(θ) の値を求める必要がありますが。
以上の方針で行けば、必ず解けるはずです。

お礼

何とか解くことができました！
詳しい解説ありがとうございました。

回答No.1

graduate_student

まずは，|ａベクトル＋ｂベクトル|＝2√3の両辺を2乗，|ａベクトル－ｂベクトル|＝2の両辺を2乗して，ａベクトルとｂベクトルの内積を求めましょう．

お礼

絶対値は２乗が基本なんですね＾＾；
ありがとうございました。