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対角化
kony0の回答
- kony0
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A={(1,2)^T; (4,3)^T}ですか。 固有値を求めるためには|A-λE|=0を解けばよいので (1-λ)(3-λ)-8=0→λ=-1,5 λ=-1に対する固有ベクトルを(x,y)^Tとおくと、x+2y=0なる関係が導き出せるので、(-2,1)^Tは固有ベクトルですが、(1,-2)^Tは固有ベクトルではありません。 （なぜここで迷われているのか疑問です。どういう考えに基づいて固有値に対する固有ベクトルを求めようとしているのでしょうか？意味を考えず機械的に式を解いて数字を出しているだけの計算に陥ってませんか？） で、 P={(-2,1)^T; (1,1)^T}とすればP^(-1)AP=diag(-1,5) P={(1,1)^T; (-2,1)^T}とすればP^(-1)AP=diag(5,-1) となるはず。（計算はしてませんが）どっちでもよいのでは？ 理由は#1に書いたとおりです。この問題を解くのであれば、一般的な文字で説明した#1の解説は読み下せないと真の理解は厳しいです。（ひょっとしたら定型パターンにあてはめた数字の計算ならできるようになれるかもしれませんが、それを真の理解とは言いません。ちなみに私は高校生のとき真の理解をしてなかったと思います。） あと#2さんの言うとおり、定義ではなくて定理です。なぜ固有ベクトルを求めることで対角化できるか、そのあたりの内容も#1で記載してます。固有ベクトルをを並べることにより、行列の積APが（対角行列）とPの積となるところがポイント。そのメカニズムを理解することが必要です。
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