対角化

質問

行列の対角化を考えています。
行列に対する固有値がα、βとします

固有値αに対する固有ベクトルが
a
b

固有値αに対する固有ベクトルを
c
d

とすると対角化するためのP^(-1)APのPは
a c
b d
となると言うのが定義ですよね。ある問題を解いているときに思ったのですが

c a
d b

ではいけないのでしょうか？これでやったらうまくいきませんでした。

また固有ベクトルを求める際に固有値αに対して方程式を解いたときa,bと出たとします。このとき固有ベクトルを
b
a
同様に、固有値βに対してc,dと出たときに
d
c
とするとダメなのでしょうか？私がお聞きしたいパターンは
b d 　　 c a
a c 　　 d b
です。Pを決める際にルール（ベクトルを並べるための）等が存在しているのでしょうか？わかりにくくて申し訳ありませんがお願いします。

回答No.1

kony0

固有値と固有ベクトルというのは、
Ax=λxとなるスカラーλと縦ベクトルxのことですよね？

であるならば、前者はOKだけど、後者はNGと思いますが・・・ちなみに前者の場合の対角行列も、diag(β,α)と、αとβの位置を入れ替える必要があります。

２つの(縦)固有ベクトルを(横に)並べて正方行列を作る場合において、２つのベクトルの並べ順は問題にならないでしょうが、１つの縦ベクトルの中の順番を勝手に入れ替えると、それは当然ですが固有ベクトルではありません。

言葉足らずの感がありますが、行列の話をTEXTで書くのがちょっと辛いですね。^^;可能な範囲でがんばってみると以下の通り。

ベクトル
a
b
を「(a,b)^T」、行列
a c
b d
を「{(a,b)^T; (c,d)^T}」と表記します。

固有値、固有ベクトルの定義から
A (a,b)^T = α (a,b)^T = (αa,αb)^T
A (c,d)^T = β (c,d)^T = (βc,βd)^T

これより、
A {(a,b)^T; (c,d)^T} = {(αa,αb)^T; (βc,βd)^T}
= {(α,0)^T; (0,β)^T} {(a,b)^T; (c,d)^T}

すなわち P={(a,b)^T; (c,d)^T} とすると、
AP = diag(α,β) P
P^(-1)AP = diag(α,β)
となります。

また、
A {(c,d)^T; (a,b)^T} = {(βc,βd)^T; (αa,αb)^T}
= {(β,0)^T; (0,α)^T} {(c,d)^T; (a,b)^T}

すなわち P'={(c,d)^T; (a,b)^T} とすると、
AP' = diag(β,α) P'
P'^(-1)AP' = diag(β,α)
となります。したがって、２つの縦ベクトルの並び順を変えても問題はないはずです。

ちなみに、(a,b)^Tが固有ベクトルだからといって、(b,a)^Tが固有ベクトルとは言えません。したがって、後者の質問はNGといえます。

補足

レスありがとうございます。
丁寧な証明ありがとうございます。
具体的な行列で質問になをしてもよいでしょうか・・・？

A=1 4
2 3

と言う行列の固有値は-1と5
-1に対する方程式の解の一つの-2と1をとってみる
5に対する方程式の解の一つの1と1をとるとします。
-1の固有ベクトルは(-2,1)^Tか(1,-2)^Tか、さらに
5の固有ベクトルは1,1成分が同じなのでちょっと良い例ではないかも知れません・・・・
このときP^(-1)APのPはどのように構成されますか？
固有値-1に対する固有ベクトルを先に並べるのか、それとも固有値5に対する固有ベクトルが先なのか・・・？
できたら理由を教えて頂けるとありがたいです。