計算の問題ですが

質問

複素数の計算問題ですが
複素数z=ｐ+ｑi（iは虚数)において、qをｚの虚部として
Imzで表す。a、b、c、dをad-bc=1を満たす実数とするとき、Imz＞0ならば
Im（az+b/cz+d)＞0となることを証明せよ
と言う問題で

素直にz=ｐ+ｑiを代入すると
Im（az+b/cz+d)=（ap+aqi+b)/(cp+cqi+d）
になって分子、分母に(cp-cqi+d）を掛けると
分母が(cp+d)^2+(cp)^2となるのはわかるのですが
分子がどうしても計算できません
別な解法から答えが(ad-bc)qとなるのはわかるのですが
この解法での計算がわかりません
どなたか教えて頂けないでしょうか

回答No.1

chicago911 · ベストアンサー

素朴に計算してみましょう。Text 形式なのでちょっと見にくいと思いますが、後は御自分で。

az+b = a(p+qi) + b
= (ap+b) + (aq)i
cz+d = (cp+d) + (cq)i

分母が、cz+d = (cp+d) + (cp)i なので、分母、分子に
(cp+d) - (cp)i をかけると、
分母は、(cp+d)^2 + (cp)^2
分子は
[(ap+b) + (aq)i][(cp+d) - (cq)i]
= (ap+b)(cp+d) + (ap)(cp) + [ap(cp+d) - cp(ap+b)]i
になるので、この i に対する係数は、
分子 aq(cp+d) - cq(ap+b) = q(ad - bc)
分母 d^2 + 2cdp = d(d + 2cp)
となるので、この分母は Imz = q > 0 なので、必ず正の値になり、
分子は ad - bc = 1 と仮定されているので q になります。
したがって、Imz = q >0 であれば当然正になります。

この問題の解法のポイントは、分母分子がともに複素数の数のときは、分母分子両方に分母の共役な複素数をかけるところにあります。

お礼

お礼が遅くなってしまいすいませんでした
やっと納得がいきましたありがとうございました