単振動について 名門の森(電磁気) 問13 (7)

質問

①x4を求める際に、模範解答ではx2を中心としてx1と対称な点をx4としていますが、摩擦によって振動中心が変わっていってる為x4に到達するときにはその時の単振動の中心はx2ではないのでは？なのになぜx2を対称の中心とするんだろう？と疑問です。なぜですか？

(②の質問は余力のある方が答えていただければ幸いです。①だけ回答してくださるだけでも大変助かります。)
②摩擦のある単振動(部分的に摩擦が生じるのではなく、単振動している限りはずっと摩擦が生じている状態)において振動中心はその都度変わると思うのですが、どのタイミングで変わっているのでしょうか？この問題でいうと、(6)でx3を求める際、ここでも単振動の対称性により、x2を対称の中心としてx=bと対称な点をx3としています。私は摩擦が生じる運動をする間ずっと徐々に単振動の中心が変化しているのではないかと考えているのでx3を求める際に私の考えに従えばもうその時点では単振動の中心ではないx2を対称の中心とするのはなぜか？と疑問に思ってしまいます。

私の考えで間違っている点があればご指摘お願いいたします。また上記の疑問にお答えしていただければ幸いです。

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

後半の質問にも関係すると思いますが
まあ、摩擦力だとかは、あまり意識せず
あくまでも物体に働く合力(復元力)を考えるのが良いかと思います

まずは、Pは等速度運動して、
物体がベルトに対して滑りだした後(x1を初めて通過した後)から単振動に移ります
それは、
運動方程式
mA＝−qax+μ₂mg
↔A＝(−qa/m)｛x−(μ₂mg/qa)｝　
(ただし、加速度は大文字A)
より、この運動(Pがベルトを滑るときの運動)
は単振動だと判断出来るわけです
この式をみれば、摩擦で運動量が減衰して
振動中心:μ₂mg/(qa)が変化しない事が分かるはずです

そして、x₁とx₄でのPの速度は等しいですから
x₁とx₄は振動中心からの距離が等しい事になります
すなわち、x₁とx₄はx₂に関して対称な位置
と言えます

(そしてx₄を超えると、Pはベルトと一体化して等速度となり振動が終わります
その後、x₁に到達すると再び単振動に移項して
以下くり返しです)

まだ不明な点があれば補足質問ください

お礼

本日は本当にありがとうございました。大変お世話になったのでほんの気持ちではありますがアマギフなど何かお礼をさせていただきたいです。突然で申し訳ないのですが可能でしょうか？

補足

早速回答してくださり本当にありがとうございます。大変助かります。
補足質問についてですが、摩擦のある単振動では振動中心が変化すると習ったのですが、そもそもその考えが違うとのことでしょうか？この問題の単振動ではx2がずっと振動中心なのですか？

また追加で質問させていただきたいのですが、x座標が負のときの運動方程式を立てようと思ったのですが動摩擦力、静電気力の符号でわからなくなってしまいました。いかに自分の考えを示すので間違えた箇所があればご指摘お願い致します。
静電気力→-axの電場がx軸正の向きに働いている為物　　　　　体に静電気力もx軸正の向き。静電気力=ーqax

動摩擦力→ここがわかりません。x2経由後のx座標が負の位置に物体があるとき(x座標負の位置に突入してからx4に到達するまで)の物体がどのように運動していて、どう摩擦力はどの方向にかかっているのかがわかりません教えていただきたいです。

長くなってしまい大変申し訳ありません。

回答No.4

maskoto

二度目の補足の内容で
OK
だと思います

お礼

苦手だった摩擦ありの単振動の問題だった為、うまく説明もできていない中、懇切丁寧に教えていただき本当にありがとうございました。とても理解が深まりました。教えていただいた後、東大の類題を解いてみましたが全問正解できました！ありがとうございました

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回答No.3

maskoto

まずは、摩擦のある単振動の振動中心について、
これはケースバイケースで
中心が変わる事もあれば、今回のように変わらない事もあると思います
単に、摩擦のある単振動の中心は◯◯になる
と暗記しないで、その都度方程式を立てて判断するのが良いと思われます

次にこの問題の振動中心について
単振動の加速度の方程式は
加速度A＝−ω²X
ですよね
そして加速度0となる、X＝0が振動中心です
(以下、x小文字とX大文字の違いに注意)
この式のXが、(x−L)におきかわると
X＝0、すなわちx−L＝0となるx＝Lが振動中心と言う事になります
本問題では
ω²＝qa/m
L＝(μ₂mg/qa)とみなして
Lが定数なので、
振動中心、L＝μ₂mg/qa
が変化しない単振動と言えます

その次に、xがマイナスでの静電気力の考え方は多分あっていると思います
楽に考えるなら、まずはベクトル方程式を考えて
(以下矢印つきの文字はベクトルを表す)
→F＝q(→E)…①
各ベクトルの成分はx成分だけであり
問題文に「水平方向に、−axの電場をかける(すなわちxが正だろーと負だろーと、位置xでの電場は−ax)」とあるのだから
(図に惑わされないようにして)
単に、→Eの成分(x成分)は、−ax
ゆえに、成分で表すと①は
Fのx成分＝q(−ax)＝−qax…②
と言うように、力の式を導きだすのが良いかと思います
(試しにx＝1と−1を代入してみると、図の電場、クーロン力の向きと一致してるから、
xの正負に関係なく式②で全ての位置xについて網羅出来ていることが確認できます)

最後に動摩擦力について
問題文から分かる通り、ベルトの速度を右向きにWとすると、Pの右向きの速さはWを超える事はありません
となると、ベルトと異なる速度の時(x1通過〜x4までの、動摩擦が作用する期間)　
Pはベルトに対して左へ滑る事になります
この左滑り阻止するように動摩擦力がPに働くので、この期間(Pとベルトが一体になっていない期間:単振動している間)は、Pはベルトから常に右向きの動摩擦力を受ける事になります
xの正負は関係なく、
初めからx1までがPは等速度
x1からBで折り返し、x1、x2(中心)、x4を通過、x3で折り返し、x4に再到達までが、単振動
x4に再到達でPの速度がベルトと等しくなり
その後は等速度運動
x1到達で最大摩擦力よりもクーロン力が勝り
Pは再びベルト上を滑り初めて、単振動に移項
このような変化をするわけです

xが負であっても
A＝(−qa/m)｛x−(μ₂mg/qa)｝
を見て、Pはx2＝(μ₂mg/qa)を中心に
(普通の)単振動をしていると受け取めなければいけません

補足

迅速に対応してくださり本当にありがとうございます！
とても丁寧に説明してくださったのすごく分かりやすかったです。
摩擦がある単振動全てにおいて振動の中心が変わるのではないため、その場その場で運動方程式を立ててどこが振動中心であるかを確認する必要があるのですね。
また、物体が単振動している間(等速運動している間を除く)は常にベルトコンベアの速度を超えないものの、ベルトコンベアに対して左に滑っており、単振動の運動方程式もxが負の時も正の時も全く同じ運動方程式になるのですね。
以上の考えで間違いがあればご指摘お願い致します。何度も申し訳ありません。

回答No.1

hiro_1116

振動の中心に対して対称に減衰していくので、摩擦があっても振動の中心は変わらないと思いますが、、、

お礼

迅速に対応してくださりありがとうございました！基本的なことがわかっておらず理解が及びませんでしたが、大変助かりました。 本当にありがとうございました

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補足

早速回答してくださりありがとうございます。大変助かります。
補足で質問させていただきたいのですが、
摩擦がある単振動では振動の中心が変わると習ったのですが、そもそも摩擦があったとしても振動中心はずっと同じ位置になるのでしょうか？