図形問題について

質問

以下の問題をベクトルや三角関数などを用いずに、初等幾何で証明できるでしょうか。
ぜひよろしくお願いいたします。

正六角形ABCDEFにおいて、
EFの中点をM、BM上にCB=CNとなるNをとる。
このとき、∠ANM+∠DNE=120°を示せ。

回答No.4

staratras

初等幾何による解法をひとまずおけば、座標を使って考えると手間はかかりますがほぼ計算だけです。半径1の単位円に内接する、下の図のような正六角形ABCDEFを考えます。Aを（0,1）にとります。

直線BMの式は　y=（-√3/6）(x-√3/2）すなわちy=（-√3/6)x+1/4　　…（１）
Cを中心とする半径1の円の式は　(x+√3/2)^2+(y+1/2)^2=1 …（２）
(1)を(2)に代入して解くと以下の2つの解を得、それぞれBとNの座標です。
(x,y)=(-√3/2,1/2)or（-5√3/26,9/26)
Nの座標が（-5√3/26,9/26)とわかれば、NとA,E,Dをそれぞれ結ぶ直線の傾きも求められますので
タンジェントの加法定理をつかって
tan∠ANM=3√3,tan∠DNE=(1/2)√3　…（１）という値が得られ、さらに加法定理を使えば
tan(∠ANM+∠DNE)=-√3　となって証明できます。

（１）の値がキリが良い数値であることから初等幾何で解けそうな気がしますが…なかなかうまくいきません。

回答No.3

f272

ゴリゴリに余弦定理を使ったら
cos(∠ANM)=√7/14
cos(∠DNE)=2√7/7
となった。

回答No.2

f272

∠ANM=79.107度
∠DNE=40.893度
でたしかに120度になるようですが、初等幾何学で示す方法は思いつきませんでした。

回答No.1

kon555

CADで作図して確認してみましたが、その条件ではそもそも「∠ANM+∠DNE=120°」になりません。
　何か問題文を間違えてはいないですか？