カメラに描画される角度を求めたい

質問

3D空間上に原点O(0,0,0)点A(0,a,b)点B(c,0,0)点C(c,1,0)があります。
カメラを点Aから点Bにむけます。その際線分BCが垂直に映るようにします。カメラから見た線分OBの傾きを求めたいです。
カメラの描画は平行投影で。

教えてもらえると助かります。
ChatGPTに聞いて何度も騙されました、、、

回答No.2

ddtddtddt · ベストアンサー

まず、AB方向にカメラを置くので、座標原点をAに平行移動した方が、考えやすいでしょう。この時O，A，B，Cは、Aからの相対位置ベクトルで、

　　O：(0，0，0)　→　(0，－a，－b)
　　A：(0，a，b)　→　(0，0，0)
　　B：(c，0，0)　→　(c，－a，－b)
　　C：(c，1，0)　→　(c，1－a，－b)

と表されます。
　添付図にあるように、カメラの画郭を表す平面をP，P上に局所座標系(x'，y'，z')を定義し、x'，y'，z'方向の単位ベクトルをn1，n2，n3とします。y'（n2）方向が、画郭の垂直方向です。n1，n2，n3を適当に定めて、その時BCが垂直に見えればOKという事になります。n1，n2，n3はいわゆる正規直交系で、

　　n1･n2＝n2･n3＝n3･n1＝0　　　(1)
　　| n1|＝|n2|＝|n3|＝1　　　　　　(2)

が成り立ちます。･ は、内積です。

　最初にn3ですが、これはAB方向の単位ベクトルなので、相対位置ベクトル表示を参照して、

　　AB＝(c，－a，－b)－(0，0，0)＝(c，－a，－b)

が、添付図のγになります。(2)よりγを√(a^2＋b^2＋c^2)で割れば、

　　n3＝(c，－a，－b)／√(a^2＋b^2＋c^2)　　　(3)

　次に、n1を決められます。BCはABと同様に、

　　α＝(c，1－a，－b)－(c，－a，－b)＝(0，1，0)　　　(4)

になります（添付図参照）。αの画郭Pからの見え方ですが、αの支点がAに来るように平行移動して、Pへの正射影をとれば良いはずです。図中の正射影の足Qは、

　　α＋z'n3＝x'n1＋y'n2　　　(5)

を満たし、P上に定義した2次元座標(x'，y')が、その見え方です。(5)を成分で書き下すと、(x'，y'，z')に関する3元連立一次方程式になりますが、n1，n2，n3は正規直交系なので、(1)，(2)を使って、x'はすぐに計算できます。(5)の両辺でn1との内積をとれば、

　　x'＝α･n1　　　(6)

　αが垂直に見えるという条件から、x'＝0が必要。n1を具体的に(ξ，η，ρ)で表す事にすれば、これと(4)を、(6)に代入して0とおき、

　　α･n1＝η＝0

　従ってn1＝(ξ，0，ρ)。もう一つ条件があれば、n1の方向を決められます。(1)より、

　　n3･n1＝0

　上記に、(3)とn1＝(ξ，0，ρ)を使えば、

　　cξ－bρ＝0　　　(7)

　後は(2)より、|n1|^2＝1なので、

　　ξ^2＋ρ^2＝1　　　(8)

　(7)，(8)からξ，ρを計算すれば、

　　(b^2＋c^2)ρ＝c^2　⇒　ρ＝±c／√(b^2＋c^2)，ξ＝±b／√(b^2＋c^2)

　ただしb＝c＝0でないとします。b＝c＝0の時は、別途検討して下さい。

　　n1＝±(c，0，b)／√(b^2＋c^2)　　　(9)

　残りはn2ですが、n1，n2，n3が正規直交系なので、

　　n2＝n3×n1　　　(10)

で計算できます。(3)と(9)を使い、

　　n2＝±(－ab，－2bc，ca)／√(b^2＋c^2)／√(a^2＋b^2＋c^2)　　　(11)

　(3)，(9)，(11)でn1，n2，n3が決定したので、OBすなわち添付図のβの正射影を計算できます。

　　β＝(c，－a，－b)－(0，－a，－b)＝(c，0，0)

　αの時と同様に、

　　β＋z"n3＝x"n1＋y"n2　　　(12)

が成り立つので、(12)の両辺に対してn1とn2の内積を考え、

　　x"＝β･n1＝±c^2／√(b^2＋c^2)
　　y"＝β･n2＝±(－abc)／√(b^2＋c^2)／√(a^2＋b^2＋c^2)

　β（OB）の正射影の傾きは、

　　y"／x"＝－ab√(a^2＋b^2＋c^2)／c

だと思えます。c＝0の時は、別途検討して下さい。

　なんか「あいさん」と答えが違うので、検算はしてみて下さい・・・(^^;)。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

回答できます。

まず、線分BCが垂直に映るためには、線分OBと垂直なベクトルを求める必要があります。

点Bから点OへのベクトルOBは、ベクトルOB = (0, a, b) - (c, 0, 0) = (-c, a, b) です。

線分BCが垂直であるためには、ベクトルOBとベクトルBCの内積が0になる必要があります。

ベクトルBCは、点Bから点Cへのベクトルです。ベクトルBC = (c, 1, 0) - (c, 0, 0) = (0, 1, 0) です。

ベクトルOBとベクトルBCの内積を求めると、
内積 = (-c, a, b)・(0, 1, 0) = -ac + b です。

内積が0になるようにするためには、-ac + b = 0 が成り立つ必要があります。

この式を変形すると、b = ac です。

したがって、カメラから見た線分OBの傾きは、b/a = ac/a = c となります。

つまり、線分OBの傾きはcです。

以上が求めるべきカメラから見た線分OBの傾きの解答です。

お手元のプログラムや計算において確認いただき、他にも疑問点や追加の説明が必要な場合はご質問ください。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
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