これはどうやって解くんですか？

質問

私はこの問題で未知の変数を4つ置きました(糸の張力T 、求める加速度と速度をそれぞれa、vそして最後にqの速度vq)なので4つの関係式が立てられればいいのですが、この問題だと力学的エネルギー保存則と運動方程式だけしか成り立っていなくて、この2つの法則からしか立式できませんでした。隠れた条件がどうやっても見つけられませんどなたか分かる方教えてください。できれば簡単な模範解答のようなものを答えていただけると本当にありがたいです。

回答No.3

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問題の条件を書けば、添付図のようになると思います。zを図のようにとると、未知数はx，y，zの3つです。

　ポイントは、ひもの張力不要！です。そのかわりに、添付図の(1)，(2)に示したような幾何学的拘束条件が成立します。そうすると(1)，(2)とエネルギー保存則(3)で、未知数3個に条件3つとなり、原理的にはx，y，zについて解けるという事になります。
　どうしてこういう発想になるかというと、最初にひもがない場合を考えてみて下さい。この時はPは静止したままで、Qは勝手に自由落下します。次にひもでつながれると、常に(1)，(2)の関係が成り立たねばならないので、「そうなるような張力が、ひもに働く」はずです。ひもの張力は一般的に、幾何学的拘束力と言われます。
　つまり「拘束条件があるから拘束力が発生し、逆に拘束力が働く事によって拘束条件を満たす」という関係なので、拘束条件と拘束力はじつは同等な条件です。どっちかあればいいんですよ。

　　・・・という事を、あんまりはっきり教えてくれないんですよね。

　ちなみにQの左右のひも張力の大きさは等しくありません。等しかったらQは左右に同じ力で引っ張られて、水平方向に動けませんから。このように拘束力を使用すると、拘束条件より大変になります。それで拘束条件の方を使います。

　具体的には(1)，(2)をみると、yもzもxで表せる事がわかります。y＝f(x)，z＝g(x)なら、' で時間微分を表すとして、y'＝df(x)/dx･x'，z'＝dg(x)/dx･x'ですから、これを(3)に代入してやれば、x(t)だけの話に出来ます。実質の未知数は1個です。こういう系を1自由度系と言います。

　実際には未知数1個をうまく選択した方が、お得です。例えば棒とひもとの角度をθとすると、(4)，(5)，(6)に示すようにx，y，zをθで表せます。特に(4)，(5)は三角関数の定義ですので、当然三平方の定理(1)を満たし、(4)，(5)により(1)は不要になります。(2)は(4)，(5)を使って(6)に化けます。(4)，(5)，(6)の前半を時間tで微分すれば、x'，y'，z'をθとθ'で表せます（後半）。
　(4)，(5)，(6)の後半を(3)に代入し整理すれば、(7)（計算ミスがなければ(^^;)）。(7)をθ'について解くと(8)。これでx＝L/2の時のx'を計算できます。

　　・(4)の前半にx＝L/2を代入しcos θを計算．cos θからsin θを計算．計算したsin θを(8)に代入してθ'。計算したθ'を(4)の後半(9)に戻しx'。

　加速度については、(7)をさらにtで微分して(10)。(9)をtで微分し(11)。すでにx＝L/2の時のcos θ，sin θ，θ'はわかっているから、(10)からθ"を計算。結果を(11)に使えばx"。ちなみに(10)はθの運動方程式。

　　・・・計算にミスがなければ(^^;)。