dy/dxが分数式のように扱える理由

質問

教科書で勉強をしていて疑問に思ったのですが、dy/dxが分数式のように扱える理由は、高校の教科書のどこの単元に書いてありますか？
もし書いてないなら、何故dy/dxが分数式のように扱えるんですか？

回答No.4

simasimasimato

質問の内容は連鎖律といいます。
連鎖律とは、複数の関数が合成されたときに、それぞれの関数の微分係数をかけ合わせたものが、合成関数の微分係数になるという性質です。

例えば、以下のような関数があったとします。
y = (x^2 + 1)^3
この関数を微分するには、まず内側から外側に向かって微分していく必要があります。すなわち、以下のように微分する必要があります。
y' = 3(x^2 + 1)^2 * (2x)
このとき、内側の関数は u = x^2 + 1 とおくことができます。すると、外側の関数は v = u^3 と表すことができます。このとき、微分するためには以下のように連鎖律を適用することができます。
y' = dv / dx = dv / du * du / dx
この式を具体的に計算すると、以下のようになります。
dv / du = 3u^2
du / dx = 2x
よって、微分係数 y' は以下のようになります。
y' = dv / dx = dv / du * du / dx = 3u^2 * 2x = 6x(x^2 + 1)^2
このように、内側から外側に向かって微分していく際に、連鎖律を適用することで微分係数を求めることができます。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

数学III「微分法」の「合成関数の微分、逆関数の微分」のところに
(dz/dy) × (dy/dx) = dz/dx
dx/dy = 1 ÷ (dy/dx)
といった式の説明（微小量Δxなどを用いて、Δx→0としたときの式変形）が書いてあるかと思います。

回答No.2

f272

高校の教科書には書いてありません。高校数学で分数式のように扱うことはありません。

回答No.1

Nakay702

＞教科書で勉強をしていて疑問に思ったのですが、dy/dxが分数式のように扱える理由は、高校の教科書のどこの単元に書いてありますか？ もし書いてないなら、何故dy/dxが分数式のように扱えるんですか？
⇒dyとdxが関数の要素だからです。つまり、両者が相関し合っている、一方が変れば他方も変わる、お互いが「比」の関係にあるからです。

教科書や単元については、「代数」の中で扱われているはずです。「式の変形」というような小節または見出しがついているかも知れません。
そこでは、通常、次のような説明があると思います。
《a:b=c:dなら、ad=bcであり、a/d=b/cである。》