クラインの壺について

質問

クラインの壷が四次元空間上で貫通しないと断じることができる理屈を教えてください。
クラインの壷として、一方の筒の口がその筒の側面に貫通しているような図を見ることがあります。
でもあれは四次元の幾何的構造としてのクラインの壷の断面図あるいは射影なのであって、クラインの壷そのものはそれ自身のなかで重なり合う部分を持たない、貫通しているようなことがないと断じられているのを知恵袋でも見たことがあります。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14240553914
しかし、私は先日以下リンク先の質問を投稿したのですが、そこでは「四次元の図形の全体像を想像できる人はいない」というような見解が多数派でした。
https://okwave.jp/qa/q10042768.html
つまり、全体像を想像できないのに、どうしてそれが貫通しないのだと断じるようなことが可能であるのか、ということに関心を持ちました。
確かに二度折れ曲がった部分がある棒について、その影では、一方の端が他方の端に近くでその棒自身を貫通しているように映っているという場合があります。これを逆から言えば、その影のもととなった図形はどこでも貫通してないと断ずることは可能です。
しかしこれは二次元も三次元もその両方の図形の全体像を知っているからいえることです。
貫通しないことを数式から示せたとしてもそれは数式に対応する図形の状態を事前に知っているからであるはずです。
先に貫通しない立体があって、その数式表現を知っているから、ある場合で貫通しないことを証明するなかでそのような数式がでてきたら、ああ貫通しないんだなとわかるという具合であるはずです。
こうした貫通した影と貫通してない図形という二次元と三次元の間で生じることがある関係が、三次元と四次元の関係でも成立するとは限らないわけです、
成立しないとも限りませんが、クラインの壷がそうなのであるかは具体的に調べないと分からないはずです。
でも四次元の図形の全体像(各断面図と断面図のつながり方)が想像できないわれわれには、クラインの壷の全体像も当然想像できるわけがありません。
結局、どうして想像もできない形に対してこれは貫通しないと断じることができるのかという話に戻ります。
まさにその貫通してる部分がないクラインの壷を想像できてるわけでもなければ実際それを見たことがあるというわけでもない人が、断面図としては貫通しているという事実を突きつけられてもなお、貫通してないと断じられるその奇妙さです。
「貫通しない」ということ自体を数学者等誰か権威ある人の知見として妄信している場合は除くとして、どのような理屈でそうだと断定できるのか、その理屈というか推論のプロセスを教えて欲しいです。
こちらには高卒程度の数学知識しかないというのを前提として、大学数学の概念がどうしても解説するうえで必要と言う場合は都度説明していただければと思いますが、そのときは難しいところもごまかさず、しかしその分その概念の理解においてつまずきやすいところをフォローしつつ丁寧に説明したうえでそうした概念を使っていただけるとありがたいです。私としては本当に商位相を言葉して聞いた事だけあるという程度です。裏表のない筒を数学的に式として表現できれば、貫通しないということは循環論法的に自明なはずだとかいうことを考えてみたりもしましたが、実際に触ることもできるメビウスの輪ならともかく裏表が無い筒なんて想像もできないものを、どうして数式に落としこめることができようかとそれ以上は行き詰ってしまいました。

回答No.1

ddtddtddt

4次元の幾何学には全く詳しくないので、参考意見です(^^;)。

　4次元の全体像を把握できる人なんていない、のは本当だと思います。絶対に絵にも描けないし。でも4次元以上の高次元空間を、けっこうやすやすと使ってますよね？。4次元以上のベクトル空間です。
　そこでは直交するx，y，z軸全てに直交する方向にt軸を立て、位置ベクトル(x，y，z，t)を、2次元や3次元の位置ベクトル(x，y)や(x，y，z)と同様に扱います。そうやって多変量解析の分野などで、現実に正しい結果を出せます。
　また3次元で、

　　ax＋by＋cz＝e

を平面の方程式と呼ぶので、2次元の直線の方程式、

　ax＋by＝c

は、2次元における平面に相当するものだと考えます。そこから4次元において、

　ax＋by＋cz＋dt＝e

を、4次元の（超）平面と呼ぶのには、そう違和感はないと思います。

　要するに（自分の意見では）高次元の幾何学は、現実の2次元，3次元からの外挿です。
　「4次元も現実の2次元，3次元と同じであるならば」、2次元，3次元でグラフを描くのと同じように、（絵には出来ないけど）4次元以上にもグラフを描けるはずだとなり、多変量解析の計算が成立します。そのような人間の都合に従った、閉じた論理の世界では不都合は生じません。この4次元空間は、人間がつくった、または人間が妄想した（？）ものだからです。4次元空間なんて、誰もみたことないですよね？(^^;)。

　クラインの壺は、そういう人間都合の閉じた論理の世界での話と思います。その4次元は人間がつくった（妄想した）ものなので、「こういう条件の時、貫通していない」と「定義」すれば良いわけです。後はその条件が、その4次元の公理と矛盾しなければOKです。

　ここまでクラインの壺に関する話を、論理の中で拡張されたユークリッド空間の話として書いてきましたが、ここで「現実の物理的な4次元時空は、どうなってるんだ？」という問題が生じます。あなたが引っ掛かってるのは、ここだと邪推してます(^^;)。

　現実の物理的4次元時空は、疑似ユークリッド空間です。4元ベクトルの長さsの2乗は、cを光速度として、

　　s^2＝x^2＋y^2＋z^2－(ct)^2

であり、2つのベクトルv1，v2の内積は、

　　v1･v2＝x1･x2＋y1･y2＋z1･z2－c^2･t1･t2

になります。v1･v2＝0が2つのベクトルの直交条件ですので、普通に直交するx，y，z軸全てに直交する方向にt軸を立てたものでは「全然ありません」。

　しかしそれでも、クラインの壺に関する「貫通しない定義」を疑似ユークッド用に書きかえたものには、十分な転用価値があるはずです。疑似ユークッド空間は、現実の物理的4次元らしいので（観測結果）。数学とはそういうものだと思います。

　余談ですが誰も見た事ないものを、見れないものを数学はけっこう妄想（？）します。例えば無限集合論がそうです。無限は誰も見た事ないし、見れません。何故なら全部見れたら、それは有限になってしまうからです。無限集合論は、有限の論理の無限への外挿だと自分は思っています。そう考えると、それに基づく実数論も、ちょっと妄想気味です(^^;)。