ringohatimitu の回答履歴

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

証明問題です。 1_E(x)=1(x∈Eの時),0(xがEに含まれない時)という関数1_Eを定義関数(特性関数)という。 [命題] {x∈E;f(x)>r}(for∀r∈R)が可測ならば{x∈E;r≦f(x)≦r'}(r,r'∈R)も可測。 [問](Ω,B)を可測空間とする。 単関数Σ[k=1..n]a_k1_E_k (a_k∈R,E_k⊂Ω,1_E_kは定義関数(特性関数) (k=1,2,…,n))とする。 f:=Σ[k=1..n]a_k1_E_kがE:=∪[k=1..n]E_kで可測関数⇔E_1,E_2,…,E_kは全て可測集合。 [証] (必要性) fがEで可測関数だから∀r∈R,{x∈E;f(x)>r}∈B. それでE_i∈Bとなる事を示せばいいのだから fは単関数だからf(E_i)=a_iとなる定義域がある。 よって上記命題を使って,E_i={x∈E;a_i≦f(x)≦a_i}∈Bとなる予定だったのですが 関数値がa_iとなる定義域はE_iだけとは限りませんよね。 各a_1,a_2,…,a_kが全て異なる値なら 個々でE_i={x∈E;a_i≦f(x)≦a_i}∈Bと持って行けて命題が使っておしまいなのですが, もしかしたら同じ関数値を採る定義域がE_1,E_2,…,E_kの中に複数個あるかもしれませんよね。 (例えばf=(E_i)=f(E_j)=a_i) その場合,{x∈E;a_i≦f(x)≦a_i}=E_i∪E_jとなってしまい,E_i∪E_j∈Bで E_i∪E_jが可測集合である事は示せますがE_iひとつだけで可測になる事が示せません。 こういう場合はどうすればE_iだけが可測である事を示せますでしょうか?

よろしくお願い致します。 A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。 (ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。 (イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。 という問題です。 (ア)について Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1) (但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け, 題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。 それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i} から先に進めません。 λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。 どのすれば=0にたどり着けますでしょうか? (イ)について 答えは多分Yesだと思います。 Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U＼E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。 なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。 それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。 今,(ア)より inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0 と分かったので 0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i} =inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} (但しBd(I_i)は境界点) =inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} (∵||の定義) からinf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)} となればI_i＼Bd(I_i)は開集合になので inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)}=0が言え, ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え, μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア)) となりおしまいなのですが inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} から inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)} となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。 A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。 (ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。 (イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。 という問題です。 (ア)について Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1) (但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け, 題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。 それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i} から先に進めません。 λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。 どのすれば=0にたどり着けますでしょうか? (イ)について 答えは多分Yesだと思います。 Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U＼E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。 なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。 それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。 今,(ア)より inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0 と分かったので 0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i} =inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} (但しBd(I_i)は境界点) =inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} (∵||の定義) からinf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)} となればI_i＼Bd(I_i)は開集合になので inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)}=0が言え, ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え, μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア)) となりおしまいなのですが inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} から inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)} となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

以下の問題がどうやってもうまくいきません。 ---------------------------------------------------------- f(x,y)=(ax^p+by^p)^1/p (0,∞) 0<a,b<1 a+b=1 の時、以下を証明せよ。 (1)lim[p→0]f(x,y)=x^a*y^b (2)lim[p→-∞]f(x,y)=min{x,y} ---------------------------------------------------------- g=(ax^p+by^p)^1/p として両辺をp乗し、 式を展開してgの極限をとってみたのですが一向に答えには辿り着きませんでした。 しかし式を展開していかなくては答えはでないと思うのです。 どなたか良い解決策をお持ちではありませんでしょうか。 宜しくお願い致します。

よろしくお願い致します。 A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。 (ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。 (イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。 という問題です。 (ア)について Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1) (但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け, 題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。 それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i} から先に進めません。 λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。 どのすれば=0にたどり着けますでしょうか? (イ)について 答えは多分Yesだと思います。 Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U＼E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。 なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。 それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。 今,(ア)より inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0 と分かったので 0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i} =inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} (但しBd(I_i)は境界点) =inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} (∵||の定義) からinf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)} となればI_i＼Bd(I_i)は開集合になので inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)}=0が言え, ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え, μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア)) となりおしまいなのですが inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} から inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)} となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

以下の問題がどうやってもうまくいきません。 ---------------------------------------------------------- f(x,y)=(ax^p+by^p)^1/p (0,∞) 0<a,b<1 a+b=1 の時、以下を証明せよ。 (1)lim[p→0]f(x,y)=x^a*y^b (2)lim[p→-∞]f(x,y)=min{x,y} ---------------------------------------------------------- g=(ax^p+by^p)^1/p として両辺をp乗し、 式を展開してgの極限をとってみたのですが一向に答えには辿り着きませんでした。 しかし式を展開していかなくては答えはでないと思うのです。 どなたか良い解決策をお持ちではありませんでしょうか。 宜しくお願い致します。

両方とも割り切れないということに関係があるように思うのですが、考える上での指針のようなものを教えていただければ幸いです。

オイラーの公式の左辺はe^(ix)と書かれていますが表題のような質問は成り立つのでしょうか。

2^xと3^xの両方が有理数になるような整数でないxは存在しますか?

http://mathworld.wolfram.com/HolditchsTheorem.html によると、平面閉曲線Cがあり、内側にp+qという長さの線分を、両端点がCに接するようにすべらし、線分の端点からp(他の端点からはq)の点の軌跡をC'とするとき、CとC'で囲まれる部分の面積はpqπ、とのことなのですが、どのようにして証明できるのでしょうか?

こんにちは。 現在理工学部の一年生のものです。 物理や数学に興味があり、専門書を読みあさっているのですか、 「微小量」 というものがいまいちつかめません。 つまり 無視できないときと、無視できるときの違いは何なのでしょうか？ Δ○→d○になるときとならない時の違いは？ 定義は何なのでしょうか？ 微小量について体系的に学ぶためにはどうすれば、またどのような参考書がよろしいでしょうか。 具体的な問題を出したほうがよろしいのかと思いますが、あまりにもさまざまな本であらわれてくるのでまとめて質問いたしました。 どなたかよろしくお願いいたします。

GRE対策問題集のエクササイズにk+1の任意に選ばれた整数の中には、差がkで割り切れる２つの数が存在することを証明せよ、という問題があるのですがよく意味がわかりません。k+1個の任意の整数、という意味なのかどうかもわからない状態ですが、そうだとすると解ける問題でしょうか？察しのつく方がいらっしゃいましたら解法を教えてほしいです。 もし問題になっていないようであれば発行元の方に確認してみますので結構です。

ノルム空間内で、バナッハ空間と閉空間の違いは何でしょう？閉空間であり、バナッハ空間でないような具体的なノルム空間の例を教えてください。

ノルム空間内で、バナッハ空間と閉空間の違いは何でしょう？閉空間であり、バナッハ空間でないような具体的なノルム空間の例を教えてください。

線形の問題です。 ２次正方行列A=(ab) (cd)のとき、A^3= Eとなるときのa+d, ad-bc の値を求めなさい。という問題の解法がわかりません。 変形して、A^3-E=0から(A-E)(A^2-A-E)=0 となるので 前か後ろの括弧が０になるときを２通りに場合分けすればいいと思っていたのですが、行列はA,Bがともに０でないときに、その積　AB=0となりうる為にこの解法が使えませんでした。 どなたか知恵を貸してください。

kを実数とする。 R^3上の函数f(x)=exp(ik|x|)/4π|x| (|x|>0)に対し、 超函数の意味で(Δ+k^2)f(x)を求めよ。 上の問題ですが、直接計算によって、 通常の函数の意味で(Δ+k^2)f(x)=0 (|x|>0)は示せるのですが、 超函数の意味での(Δ+k^2)f(x)の求め方がわかりません。 δ函数の定数倍になるのではないかと思うのですが、 どなたか教えてください。

もしかしたら、かなり強いアマチュアが竜王の人と100回戦ったら運で1回は勝てることはありますか？

高校数学でごめんなさい。 去年の、東大二次試験の数学(文系）の問題・・・ http://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/sokuho07/tokyo/zenki/sugaku_bun/mon3.html これ、代ゼミで模範解答だとめんどくさいことやってるんですが・・・ http://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/sokuho07/tokyo/zenki/index.html （しかし、これだけ模範解答が手書き・・・。時間なかったのかな？） ・・・こんなかんじで、かんたんに解けたんですが・・・８分ほどで・・・。（まあ、1行目以外はひたすらベタに計算ですが）） ↓↓↓こういう解き方した人っているんでしょか？↓↓↓みなさんだと、こんなんあたりまえ？ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 5*m^4=5*m^2*m^2 とみなせる。なお・・・ m=０の場合、m^2は、０ mod(100)、m^4=m^2*m^2は、０ mod(100)、それを５でかけると０ mod(100) なお、以下明言しない限りは、計算結果はmod(100)の結果とみなす。 m=1の場合、m^2は、１、m^4=m^2*m^2は、1、それを５でかけると5 m=2の場合、m^2は、4、m^4=m^2*m^2は、16、それを５でかけると80 m=3の場合、m^2は、9、m^4=m^2*m^2は、81、それを５でかけると5 m=4の場合、m^2は、16、m^4=m^2*m^2は、56、それを５でかけると80 m=5の場合、m^2は、25、m^4=m^2*m^2は、25、それを５でかけると25 m=6の場合、m^2は、36、m^4=m^2*m^2は、16、それを５でかけると80 m=7の場合、m^2は、49、m^4=m^2*m^2は、1、それを５でかけると5 m=8の場合、m^2は、64、m^4=m^2*m^2は、96、それを５でかけると80 m=9の場合、m^2は、81、m^4=m^2*m^2は、61、それを５でかけると5 m>=10の場合、m^4は、0となるので、（mod (100)）、それをかけると0 よって、最終的な解答は、すべてで、0,5,25,80　■ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 数学久しぶりにやってみたら、新鮮で、しかもあっさり解けちゃって、 「あれ、こんなんでいいの？」みたいな、すんごい素朴な疑問でして。。。 気になって眠れません・・・。 ちなみに東大文学部中退、現在プログラマ30代ッス。ちなみに学コンマン＠東大への数学、やってました。 でも大学の数学はほとんどやってません。 どんなんでもいいので、つっこみなり意見なり感想なりいただけると、 楽しいです。 よろしくお願い申し上げます。