ringohatimitu の回答履歴

こんにちは。 Xを確率変数、X_n, Y_nを確率変数列とします。 「X_nがXに分布収束し、|Y_n-X_n|が0に確率収束するならばY_nもXに分布収束する」というのは有名な定理ですが、スルツキーの定理みたいに、「分布収束」を「確率収束」と書き換えても成り立つのでしょうか？ 言い換えると、「X_nがXに確率収束し、|Y_n-X_n|が0に確率収束するならばY_nもXに確率収束する」は成り立つのでしょうか？ よろしくお願いします。

どんな内容を盛り込みたいですか。科目は次の6科目とします。 数学I（1年，必修），数学II（2～3年，解析I，代数・幾何，統計の寄せ集め的科目） 解析I（2年），解析II（3年），代数・幾何（2年），統計（3年）

２行２列の行列Ａ＝（a b） １行１列ａ、１行２列ｂ、２行１列ｂ、２行２列ｃ (b c) ｂ＝０、１の場合、ｘ＾２＝Ａを満たすＸ＝（ｘ y）が存在するａ，ｃの条件を求めよ。 (z w) (1)ｂ＝０のときは、a=x^2+yz,y(x+w)=0,c=yz+w^2 を満たす(x,y,z,w)が存在するa,cの条件を 求めることになる。ア．y=0のとき、ａ＝＞０、ｃ＝＞０。イ．x+w=0のとき、a^2=x^2+yzを満たすx,yzが 任意のaに対して、存在する。（ちょっとあやしいが）ということは、b=0のときは、ａ，cはすべての数になるのか？。 (2)b=1のときは、a-b=x^2-w^2にw=1/y-xを代入して、(a-c)y^2-2xy+1=0 これで、ｙが存在するためには判別式Ｄ＝＞０と進めていくと、x^2-(a-c)=>0となり、この式を満たすxは、ａ，ｃが何であっても存在すると思ったので、そうするとやっぱり、ａ，ｃはすべての数となる。 (1)と(2)について、間違えを教えてもらえると有り難いです。よろしくお願いします。

線形写像A∈L(R^n,R^m) (=R^nからR^mへの線形写像全体） に対して||A||を||A||≡sup{||Ax|| : x∈R^n , ||x||≦１｝で定める。 ||A||はm×ｎ個の変数{a}ij (i=1・・・m , j=1・・・ｎ)の連続関数となることを示せ。 さっぱりわからないのでどなたか証明の仕方をお願いします。

線形写像A∈L(R^n,R^m) (=R^nからR^mへの線形写像全体） に対して||A||を||A||≡sup{||Ax|| : x∈R^n , ||x||≦１｝で定める。 ||A||はm×ｎ個の変数{a}ij (i=1・・・m , j=1・・・ｎ)の連続関数となることを示せ。 さっぱりわからないのでどなたか証明の仕方をお願いします。

D：ｆの定義域 有限な極限値limf(P) (P→P_0）が存在するための条件は、P_0に収束するどんな点列｛P_n｝（ただし、P_n∈D、P_n≠P）に対しても、数列{ｆ（P_n）}が収束することである。 これを示してください。 よろしくお願いします。

D：ｆの定義域 有限な極限値limf(P) (P→P_0）が存在するための条件は、P_0に収束するどんな点列｛P_n｝（ただし、P_n∈D、P_n≠P）に対しても、数列{ｆ（P_n）}が収束することである。 これを示してください。 よろしくお願いします。

D：ｆの定義域 有限な極限値limf(P) (P→P_0）が存在するための条件は、P_0に収束するどんな点列｛P_n｝（ただし、P_n∈D、P_n≠P）に対しても、数列{ｆ（P_n）}が収束することである。 これを示してください。 よろしくお願いします。

x^2＋y^2＝1　が　有界閉集合　になることの証明です。 詳しい解説よろしくお願いします。

積分の公式で1/xを積分するとlogxになるというものがありますが、ふと思ったことがあるので質問します。 たとえば・・・ 1/xを微分しなさいと言われたら、x^-1という指数にしてから、nx^n-1という法則にしたがって 計算するのが普通だと思います。 そうするとこの答えは、-x^-2=-1/x^2となると思います。 ですが、1/xを積分しなさいと言われたら、普通公式をつかってlogxとしますが、 微分と同じようにやるならば、x^-1として、 1/n+1x^n+1より、１という答えになります。 なぜ積分は微分と同じように1/xをx^-1という指数の形にして計算できないのでしょうか？ 誰か証明できる方はいませんか？

積分の公式で1/xを積分するとlogxになるというものがありますが、ふと思ったことがあるので質問します。 たとえば・・・ 1/xを微分しなさいと言われたら、x^-1という指数にしてから、nx^n-1という法則にしたがって 計算するのが普通だと思います。 そうするとこの答えは、-x^-2=-1/x^2となると思います。 ですが、1/xを積分しなさいと言われたら、普通公式をつかってlogxとしますが、 微分と同じようにやるならば、x^-1として、 1/n+1x^n+1より、１という答えになります。 なぜ積分は微分と同じように1/xをx^-1という指数の形にして計算できないのでしょうか？ 誰か証明できる方はいませんか？

A≧B＞０　⇒　B^-1≧A^-1　を証明する問題です。(A,Bはn×nの正方行列) 自分でどこまで考えたのかを以下に示します。 条件より　A-B≧０　かつ　A＞０　かつ　B＞０ A,Bが正値なので固有値λ（A）,λ（B）は全て正である。　…(1) A-Bが非負なので固有値λ(A-B)は全て非負である。 任意のx(n×1)について　x’(A-B)x≧0が成り立つ。(’は転置を表す) A,Bにそれぞれに関して直交な行列V1,V2を選ぶことによりスペクトル分解する。(Λ1,Λ2はそれぞれの固有値を対角要素とした対角行列) 　　x’(A-B)x ＝x’(V1Λ1V1’　-　V2Λ2V2’)x ＝x’V1Λ1V1’x　-　x’V2Λ2V2’x ここでy1=V1’x　　　y2=V2’x　とおくと 　　x’V1Λ1V1’x　-　x’V2Λ2V2’x ＝y1’Λ1y1 - y2’Λ2y2 ＝Σ[i=1~n]λi(A)*y1i^2　 -　Σ[i=1~n]λi(B)*y2i^2　　≧　０　　　…(2) (y1i, y2iはそれぞれy1,y2のi番目の要素) ここまでが仮定からわかることです。 ここからB^-1 - A^-1≧０であることを示したい。 任意のx(n×1)についてx’(B^-1 - A^-1)ｘ　が非負であればよい。 　　x’(B^-1 - A^-1)ｘ ＝x’(V2Λ2＾(-1)V2’　-　V1Λ1^(-1)V1’)x ＝x’V2Λ2＾(-1)V2’x　-　x’V1Λ1^(-1)V1’x ここでy1=V1’x　　　y2=V2’x　とおくと 　x’V2Λ2＾(-1)V2’x　-　x’V1Λ1^(-1)V1’x ＝y2’Λ2^(-1)y2 - y1’Λ1^(-1)y1 ＝Σ[i=1~n] y2i^2/λi(B)　-　Σ[i=1~n] y1i^2/λi(A) この式が非負であることを(1)(2)から示そうと頑張ったのですがどうしても無理でした。 非負であると示すことができるのか、 仮定部分からまだ情報を得ることができるのか、 もっとスマートな方法があるのか、なんでも結構です。 お力を貸していただけたらと思います。よろしくお願い致します。

A≧B＞０　⇒　B^-1≧A^-1　を証明する問題です。(A,Bはn×nの正方行列) 自分でどこまで考えたのかを以下に示します。 条件より　A-B≧０　かつ　A＞０　かつ　B＞０ A,Bが正値なので固有値λ（A）,λ（B）は全て正である。　…(1) A-Bが非負なので固有値λ(A-B)は全て非負である。 任意のx(n×1)について　x’(A-B)x≧0が成り立つ。(’は転置を表す) A,Bにそれぞれに関して直交な行列V1,V2を選ぶことによりスペクトル分解する。(Λ1,Λ2はそれぞれの固有値を対角要素とした対角行列) 　　x’(A-B)x ＝x’(V1Λ1V1’　-　V2Λ2V2’)x ＝x’V1Λ1V1’x　-　x’V2Λ2V2’x ここでy1=V1’x　　　y2=V2’x　とおくと 　　x’V1Λ1V1’x　-　x’V2Λ2V2’x ＝y1’Λ1y1 - y2’Λ2y2 ＝Σ[i=1~n]λi(A)*y1i^2　 -　Σ[i=1~n]λi(B)*y2i^2　　≧　０　　　…(2) (y1i, y2iはそれぞれy1,y2のi番目の要素) ここまでが仮定からわかることです。 ここからB^-1 - A^-1≧０であることを示したい。 任意のx(n×1)についてx’(B^-1 - A^-1)ｘ　が非負であればよい。 　　x’(B^-1 - A^-1)ｘ ＝x’(V2Λ2＾(-1)V2’　-　V1Λ1^(-1)V1’)x ＝x’V2Λ2＾(-1)V2’x　-　x’V1Λ1^(-1)V1’x ここでy1=V1’x　　　y2=V2’x　とおくと 　x’V2Λ2＾(-1)V2’x　-　x’V1Λ1^(-1)V1’x ＝y2’Λ2^(-1)y2 - y1’Λ1^(-1)y1 ＝Σ[i=1~n] y2i^2/λi(B)　-　Σ[i=1~n] y1i^2/λi(A) この式が非負であることを(1)(2)から示そうと頑張ったのですがどうしても無理でした。 非負であると示すことができるのか、 仮定部分からまだ情報を得ることができるのか、 もっとスマートな方法があるのか、なんでも結構です。 お力を貸していただけたらと思います。よろしくお願い致します。

A≧B＞０　⇒　B^-1≧A^-1　を証明する問題です。(A,Bはn×nの正方行列) 自分でどこまで考えたのかを以下に示します。 条件より　A-B≧０　かつ　A＞０　かつ　B＞０ A,Bが正値なので固有値λ（A）,λ（B）は全て正である。　…(1) A-Bが非負なので固有値λ(A-B)は全て非負である。 任意のx(n×1)について　x’(A-B)x≧0が成り立つ。(’は転置を表す) A,Bにそれぞれに関して直交な行列V1,V2を選ぶことによりスペクトル分解する。(Λ1,Λ2はそれぞれの固有値を対角要素とした対角行列) 　　x’(A-B)x ＝x’(V1Λ1V1’　-　V2Λ2V2’)x ＝x’V1Λ1V1’x　-　x’V2Λ2V2’x ここでy1=V1’x　　　y2=V2’x　とおくと 　　x’V1Λ1V1’x　-　x’V2Λ2V2’x ＝y1’Λ1y1 - y2’Λ2y2 ＝Σ[i=1~n]λi(A)*y1i^2　 -　Σ[i=1~n]λi(B)*y2i^2　　≧　０　　　…(2) (y1i, y2iはそれぞれy1,y2のi番目の要素) ここまでが仮定からわかることです。 ここからB^-1 - A^-1≧０であることを示したい。 任意のx(n×1)についてx’(B^-1 - A^-1)ｘ　が非負であればよい。 　　x’(B^-1 - A^-1)ｘ ＝x’(V2Λ2＾(-1)V2’　-　V1Λ1^(-1)V1’)x ＝x’V2Λ2＾(-1)V2’x　-　x’V1Λ1^(-1)V1’x ここでy1=V1’x　　　y2=V2’x　とおくと 　x’V2Λ2＾(-1)V2’x　-　x’V1Λ1^(-1)V1’x ＝y2’Λ2^(-1)y2 - y1’Λ1^(-1)y1 ＝Σ[i=1~n] y2i^2/λi(B)　-　Σ[i=1~n] y1i^2/λi(A) この式が非負であることを(1)(2)から示そうと頑張ったのですがどうしても無理でした。 非負であると示すことができるのか、 仮定部分からまだ情報を得ることができるのか、 もっとスマートな方法があるのか、なんでも結構です。 お力を貸していただけたらと思います。よろしくお願い致します。

オイラーが証明した「すべての自然数の和は-1/12である(1+2+3+・・・＝-1/12）」は 定義域を間違えた誤謬だとこれまで思ったのですが、 「素数からゼータへ、そしてカオスへ」（小山信也）を読むと第９章で ζ(s)の解析接続にs=-1を代入した値でこれが成立して、整数論的には「すべての自然数の和が 有限値を取る」のが非常に深淵な結果でありニュアンスがあってゼータ関数論では常識である ようなことが書かれてましたが意味がよくわかりませんでした。 やっぱりこの式は重要なんでしょうか？？？

実数を成分とする２次の正方行列A,Bについて、次の問に答えよ。 Aが正則でB A^-1 B=0　となれば、A+BとA-Bはともに正則であることを示せ。 という問題です。A^-1は逆行列を表してします。 どのように解答すればいいのか検討もつきません・・よろしくお願いします。

「U⊂R^nが開集合、C⊂Uがコンパクトのとき、Uに含まれるコンパクト集合Dで、その内部がCを含むようなものが存在することを示せ。」 （スピヴァック「多変数解析学」12ページ） という問題の証明を詳しく教えてください。 ちなみに（1)「あるd＞0があって、任意のy∈R^n－U、x∈Cに対して、|y－x|≧dとなる」ということ、「R^nの任意の部分集合にK対して、Kが有界閉集合⇔Kがコンパクト」、ということは分かっていて、ケンタッキー大学のコースで公開されている略解 （http://www.ms.uky.edu/~ken/ma570/homework/hw2/html/ch1b.htmの一番下の部分）を見ると（dは(1)のdとして） D＝｛y∈R^n;∃x∈C∋|y－x|≦d/2｝とすると題意のDが得られるということなのですが（D＝｛y∈R^n;∃x∈C∋|y－x|≦d/2｝はD＝｛y∈R^n;∃x∈C |y－x|≦d/2｝の誤表記？）、Dが閉集合であるということが証明できませんでした。逆に、Dが閉集合であることの証明を教えて頂ければ後は分かります。（回答の手間を少し省ければと思って載せただけなので、解答のやり方でなくても全然構いません。）

こんばんは。高校2年生になるものです。 　最近、大学では物理学系か数学系のどっちを進むかということについて悩んでいます。 　僕は数学の普遍性などに惹かれて最初は数学に強い興味を持っていました。このころ、僕は数学が実在しているということを信じていました。 　しかし、本やネットでの意見を見てみると「数学は人の頭の中にしかない」「物に名前がもともとついていたわけではないように数もまた存在しない」といったような主張がありました。このような主張を見ていると何か恐ろしいものを感じます。個人的な意見なのですが、数学は「数」ではなく「量」の性質を扱う分野だと思っています。「量」は人間がいなくても確実に、どこにでも存在しているもの（間違っているかもしれませんが・・・）なのだから、数学（量の性質）も当然存在しているのではないかなぁ～っとちょっと考えてみたのですが自信がありません。とにかく、実在論が否定されると数学に対する情熱みたいなものが今一つ湧かないのです。 　物理学の方は、物理は人がいなくても働いていると思うと安心します。ですが、ひも理論などのお話を聞くと「実験で観測できないなら、このまま行き詰ってしまうのかなぁ」と感じてしまい、この点でいまいちこれからの物理学に興味を持てません。 　長々と書いてきましたが、数学的実在論？を自分の中でしっかりと納得できたら数学を学んでみたいと思います。そこで、やっと質問なんですが、実在論は今数学者たちにどのように考えられているのでしょうか？また、どうすれば実在論をちゃんと受け入れることができるようになると思いますか？ 　稚拙な文章で申し訳ございません。（用語の使い方等も間違えまくっていると思われますが、素人なのでご容赦ください・・・）

「U⊂R^nが開集合、C⊂Uがコンパクトのとき、Uに含まれるコンパクト集合Dで、その内部がCを含むようなものが存在することを示せ。」 （スピヴァック「多変数解析学」12ページ） という問題の証明を詳しく教えてください。 ちなみに（1)「あるd＞0があって、任意のy∈R^n－U、x∈Cに対して、|y－x|≧dとなる」ということ、「R^nの任意の部分集合にK対して、Kが有界閉集合⇔Kがコンパクト」、ということは分かっていて、ケンタッキー大学のコースで公開されている略解 （http://www.ms.uky.edu/~ken/ma570/homework/hw2/html/ch1b.htmの一番下の部分）を見ると（dは(1)のdとして） D＝｛y∈R^n;∃x∈C∋|y－x|≦d/2｝とすると題意のDが得られるということなのですが（D＝｛y∈R^n;∃x∈C∋|y－x|≦d/2｝はD＝｛y∈R^n;∃x∈C |y－x|≦d/2｝の誤表記？）、Dが閉集合であるということが証明できませんでした。逆に、Dが閉集合であることの証明を教えて頂ければ後は分かります。（回答の手間を少し省ければと思って載せただけなので、解答のやり方でなくても全然構いません。）

xは整数で、pは素数のとき、x^2=p^5+p^2+1を満たす xとpは存在しないことをしめせ。 　a^2<p^5+p^2+1<(a+1)^2 となるaが存在することを示せばいいと 考えましたが、このあとがわかりません。素数の条件がどこで利くのかも 想像が付きません。よろしくアドバイスお願いします。