ringohatimitu の回答履歴

物理学では時間と空間を同等に扱う場合がありますが、数学には幾何の初歩のように空間が関係していても時間は出てこないように思います。時間が関係するような（純粋）数学というものはないのでしょうか。あるいは空間についても数学における２点間の距離などは一般に用いている空間とは別のものなのでしょうか。

高校受験の娘から整数問題の質問をされ、答えたついでに類題を 出してやろうとあれこれ考えていたところ、以下のような規則を みつけました。 ｎ＾(4m+1)≡n　(mod 10) : n,mは 整数 恥ずかしながら自分で証明できなかったので、娘に出題することは やめましたが、それ以前この式は本当に正しいのだろうかという疑問が あります。 フェルマー小定理の特殊形のような、そうでないような・・・。 ●すでに知られた一般的な規則で、正しいものでしょうか？ ●証明はかなり難しいものでしょうか？ 　（中学レベル、高校レベル、それ以上、程度で結構です） 注）私自身は数学に興味はもっていますがほとんど素人の人間です。 　　あまり難しい説明は理解の範囲を超えると思いますが、この規則の 　　原型となる公式や、成立する範囲、条件などについてお教えいただ 　　ければ幸いです。 　　（もし証明可能であればヒントをいただければ一度チャレンジして 　　　みようかなとも考えております） 　　よろしくお願いします。

極限値lim[x→+0]0^x が何故 0 になるのか。 0^1=0 は定義から明らかです。 指数法則が成り立つと仮定すると、次のことも証明できます。 m∈N について、0^m=0 n∈N について、0^(1/n)=0 m,n∈N について、0^(m/n)=0 よって、x>0 ならば 0^x=0 なので、極限値も 0 になる、と思います。 ＃多分、指数法則以外に方法は無い。 でも、これは 0^0=0 を意味しません。 a^(r+s)=a^r*a^s は、a=0,r>0,s<0 では意味を持たないので、 どんなに小さな r=m/n について 0^r=0 が証明されても、r>0 である限り、0^0 が計算できないからです。 つまり、関数0^x について、x=0 での値を求める方法は存在しません。 また、0^0=1 と仮定しても、x>0 について、0^x=0 が証明できるので、 0^0=1 という仮定とlim[x→+0]0^x=0 には矛盾がありません。 結局、連続性がないことは、未定義とする理由として不十分で、 「0^0 を未定義としなければならない理由は、存在しない」 この説明に問題はありますか？

A:R^n→R^nは逆写像を持つ線形写像とする。 <,>:R^n×R^n→Rを内積とする。 tAAが対称なら正定値(つまり0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0)である事を示せ。 (tは転置の意味) tAAが対称である事は <tAAx,x>=<x,t(tAA)x> (∵随伴の定義) =<x,tAAx> と示せたのですが 0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0がどうしても示せません。 どのようにすればしめせますでしょうか?

A:R^n→R^nは逆写像を持つ線形写像とする。 <,>:R^n×R^n→Rを内積とする。 tAAが対称なら正定値(つまり0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0)である事を示せ。 (tは転置の意味) tAAが対称である事は <tAAx,x>=<x,t(tAA)x> (∵随伴の定義) =<x,tAAx> と示せたのですが 0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0がどうしても示せません。 どのようにすればしめせますでしょうか?

「数学（物理ではありません）」の質問です。 自己共役な完全連続作用素（コンパクト作用素）は固有値を持ちます。しかし、完全連続作用素でも自己共役でない場合には、固有値を持つことが保証されません。たとえば、連続な核をもつVolterra型の積分作用素は完全連続作用素ですが、固有値を持ちません。これ以外の例をご存じの方は教えて下さい。

「数学（物理ではありません）」の質問です。 自己共役な完全連続作用素（コンパクト作用素）は固有値を持ちます。しかし、完全連続作用素でも自己共役でない場合には、固有値を持つことが保証されません。たとえば、連続な核をもつVolterra型の積分作用素は完全連続作用素ですが、固有値を持ちません。これ以外の例をご存じの方は教えて下さい。

書き方がよくわからないので、変なところがあったらすいません。 ある命題の証明をしていた時に出てきた途中式が、 なぜそうなるのかわかりません。(バナッハ空間での問題です) よろしくお願いします。 ∥Σ(1-x)^k∥≦Σ∥(1-x)^k∥　　(ｋ＝1～∞) これが、k=1～ｎまでなら、 ∥Σ(1-x)^k∥＝∥(1-ｘ)+(1-ｘ)^2+・・・+(1-ｘ)^n∥ 　　　　　　≦∥(1-ｘ)∥+∥(1-ｘ)^2∥+・・・+∥(1-ｘ)^n∥ 　　　　　　＝Σ∥(1-x)^k∥ となることはわかるのですが、無限大の場合にも なぜ成り立つのか教えていただきたく思います。 宜しくお願い致します。

書き方がよくわからないので、変なところがあったらすいません。 ある命題の証明をしていた時に出てきた途中式が、 なぜそうなるのかわかりません。(バナッハ空間での問題です) よろしくお願いします。 ∥Σ(1-x)^k∥≦Σ∥(1-x)^k∥　　(ｋ＝1～∞) これが、k=1～ｎまでなら、 ∥Σ(1-x)^k∥＝∥(1-ｘ)+(1-ｘ)^2+・・・+(1-ｘ)^n∥ 　　　　　　≦∥(1-ｘ)∥+∥(1-ｘ)^2∥+・・・+∥(1-ｘ)^n∥ 　　　　　　＝Σ∥(1-x)^k∥ となることはわかるのですが、無限大の場合にも なぜ成り立つのか教えていただきたく思います。 宜しくお願い致します。

岩波数学辞典の凸関数の項で、実関数　ｆ(ｘ)がa≦ｘｂ≦で連続な凸関数であるための必要十分条件は、適当な単調増加関数ｐ(ｘ)で 　　ｆ(ｘ)＝ｆ(a)+∫p(x) と書かれる。（積分区間は、aからxです。） とありますが、その証明を探してもなかなか見つかりませんでした。 分かる方がいれば、よろしくお願いします。 。

任意の固有値{e_i}が0以上(0 <= e_i)であり、また任意の固有値{e_i}は整数に限られるような演算子(作用素？)Nがあるとします。 さらに、Nが固有値Eを持つとすれば、E-1もE+1も固有値であることが分かっているとします。（ただし、E=1の場合は、E-1は固有値ではありません。） 仮にNが1つでも固有値を持つとすれば、上記仮定より必然的に0以上の整数全てがNの固有値である事になります。しかし、Nが全く固有値を持たないときは、この限りではありません。 私の疑問は、全く固有値を持たない演算子（作用素）は存在しえるのかという事です。0演算子(作用素)ですら、固有値0を持っています。 できれば、演算子は線形演算子、エルミートであり、作用される被演算子（被作用素？）は連続で、絶対積分可能な関数であるとしたいのですが、その様な空間（？）の数学的に厳密な定義の仕方が分からないので、その場合に限らなくてもかまいません。何か一例でも、存在すると聞いたことがあるなどでもかまいません。 よろしくお願いします。

将棋をやる意味はなんですか？ この前、コンピュータにアマトップがまけたそうですが、もう将棋をやる意味なくなったんじゃないでしょうか？ どんなり、がんばって努力しても、絶対に勝てないんじゃやろうとも思いませんよね？ それに、このアマトップの人は、プロにも勝ってるみたいじゃにですか。 って事はプロが負けたのと同じですよね。 後は、将棋は廃れるだけですね。 これでもう、チェス→すでに、世界一でもコンピュータに勝てない、 将棋→プロのトップ以外は負けるレベルまで来ている。トップも時間の問題。 囲碁→ まだまだ、アマ低レベル、プロなんて足元にも及ばない。 ってなりましたね。 やっぱり、囲碁が生き残るんでしょうね。面白いですし。

「y' * y'' = 1 　…(*) という微分方程式が線形であるか、非線形であるかを証明せよ。」 （ただし、*は掛け算、y'はxの１階微分、y''はxの２階微分であるとする。） 【自分の考察】 ２階線形微分方程式の定義は、 P0(x)y'' + P1(x)y' + P2(x)y = Q(x) であるので、(*)はこの形に当てはまらず、 y' * y''　同士の掛け算になっているので、 『非線形』だと思う。 ここまでは、予想がついたのですが、 もっと数学的に証明することはできるのかと 疑問に思いまして、質問させていただきました。 線形関数で学習した、 f(x1 + x2) =f(x1) + f(x2) f(ax) = af(x) などを、使うのかと思ったのですが、 よくわかりません。 簡単そうに見えるのに、 まだ先が見えてこないので、 どなたかご教授いただければと思います。 よろしくお願いします。

次の問題の（２）が分かりません。 nを正の整数とする。次が成り立つことを示せ。 (1) n^2+1が５の倍数であることと，nを５で割ったときの 　　余りが２または３であることは同値である。 (2)aは正の整数であり，p=a^2+1 は素数であるとする。この 　とき，n^2+1がpの倍数であることと，nをpで割ったときの 　余りがaまたはp-aであることは同値である。 回答よろしくお願いします。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。