位相とは？

質問

複素解析の本に
『複素数の絶対値の性質から明らかなように、複素数z, z'に対してd(z,z') = | z' - z | とすれば、dはＣ上の'距離関数'を与える:
(M1) d(z, z')≧0; d(z, z') = 0 は z = z' の時に限る
(M2) d(z, z') = d(z', z)
(M3) d(z, z'') ≦ d(z, z') + d(z', z'')
したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され、それを元に極限、連続性などの議論を進めることが出来る。』

とあったのですが、位相ってなんですか？

実は前にもちょっと似た質問をしたことがあってその時はトポロジーの和訳、くらいに思っていたんですが、
この文脈からするとやっぱり分かってない事を改めて認識させられました。

「位相とは」について教えてください。

回答No.10

noname#1499 · ベストアンサー

[位相の定義］

Ｓを一つの空でない集合とする。Ｓの部分集合系Ｄが次の３つの条件をみたすとき、ＤはＳに１つの位相構造を定めるという。簡単に、ＤはＳにおける１つの位相であるという。

(1)　Ｓ∈Ｄ　および　Φ∈Ｄ
(2)　Ｙ_1∈Ｄ、Ｙ_2∈Ｄ　ならば　Ｙ_1∩Ｙ_2∈Ｄ
(3)　Ｙ_λ：λ∈Λ　をＤの元から成る任意の集合族とすれば｛∪Ｙ_λ：λ∈Λ｝∈Ｄ

［位相空間の定義］

また1つの位相構造の定められた集合Ｓ、つまり、１つの位相Ｄの与えられた集合Ｓを位相空間という。形式的にいえば集合Ｓとそこにおける１つの位相Ｄとの組（Ｓ、Ｄ）である。Ｄを位相空間の位相ともいう。位相空間（Ｓ、Ｄ）に対して集合Ｓを台集合という。Ｓの元を位相空間（Ｓ、Ｄ）の点といい、Ｓの部分集合をそのまま（Ｓ、Ｄ）の部分集合とよぶ。

［開集合の定義］

（Ｓ、Ｄ）を１つの位相空間とするとき、Ｄに属するＳの部分集合をこの位相空間の開集合ないし開集合系という。

っととりあえず定義だけならべてみました。レスが多くてあまり見ていませんが、下の補足からするとまだ集合と位相の話しを習っていないようなので「集合・位相入門」：岩波書店：松坂和夫著をお勧めしておきます。距離空間の話しものっているので読みやすいかもしれません。数学の勉強をもしこれから先に進まれるのなら集合の話しは基盤となっているので読んでおいた方がよいかと思います。または、「多様体の基礎」：東大出版のはじめにも開集合のことは復習として書いてあるので参考にしてください。

補足

ありがとうございます。定義はこれで明確になりました。
ところで元の問題に戻って

> したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され

という記述ですが、この場合集合ＳがＣに相当しますよね？
Ｄとしては例えばどんなものが考えられるのですか？
（こんな質問してる事自体分かってない事を露呈しているのかな？）

それと、定義は明確になったとは言いつつ１つ分からない記号がありました。

> λ∈Λ

ってどう言う意味ですか？

回答No.6

shroeder

shroederです

f^{-1}(V) はそこに定義が書いてあるように、Vの逆像のことで、
逆写像 ｆ^{-1} の存在とはまったく無関係です。
空集合でも全然かまわないので、写像があれば
逆像をとることは、いつでもできます。同じ記号を使いますが、
通常は混乱しません。

ontoは”上への写像”ということです

標語的には、最初は
距離空間→連続関数（写像）
ですが、これを
距離空間→開集合→連続関数（写像）
と３段論法に分解できる
ということです

１対１と全単射の区別がつかないようでは、位相を理解するのは
無理があると思います。
ここでいろいろ教えてもらっても、正しいものもあれば間違いもあり、
いくらきいても混乱するばかりでしょう。本当に知りたければ
何かしっかりした本を選んで、きちんと読むことです。

補足

f^{-1}(V)の件は了解しました。

> １対１と全単射の区別がつかないようでは、位相を理解するのは無理があると思います。

記憶力と理解力とは違います。数学から１０年近くも離れていればど忘れの一つや二つあってもおかしくないでしょう。

> ここでいろいろ教えてもらっても、正しいものもあれば間違いもあり、
> いくらきいても混乱するばかりでしょう。本当に知りたければ
> 何かしっかりした本を選んで、きちんと読むことです。

それはある意味正論です。
確かに正確じゃない回答もあるでしょうし、こちらが聞きもしない事をとうとうと語られる事で却って混乱する事もしばしばです。

しかし本を読んでいてちょっと意味不明な所があったとき、
その度大きな書店まで行って関係しそうな本を選んで、というのは賢明とは思えません。
ある程度信憑性の薄さを覚悟の上で、こうしてネット上で知識を得るというのはそれほど間違った方法とは思えませんが。

回答No.5

motsuan

δ-ε論法（ε-δ論法というのが正しいようです（a,b,c,d,e,...だと思うのですが）．．．逆におぼえていました）は基本的に極限を「有限な関係がいつでもでも成り立つ」という表現に置き換えることだと考えればいいのではないでしょうか。
http://ruffnex.oc.to/ipusiron/math_lecturez/math_limit.htm
といいつつ、ε-δ論法はわすれてしまいました。

つまり、すべて○○に対して或る△△が存在する。というのがすべての○○に対して或る開集合が存在してという具合に使うのだと思います。つまり、或る△△が距離をもとにしてδをパラメータとするある範囲を指定しているのに対して、近傍系をとってその系列の中での順序（包含関係）によって、距離を介さずに範囲を指定する方法をとっているのではないでしょうか？こうすると距離のようながちがちの関係ではなく単純な集合の包含関係ですべてを記述できる（つまり、集合の言葉で表すことができる）という意味で抽象的に表現できます。（裏を返せば、そこに出てくる証明では距離と言う概念のうち、近傍の概念の部分しか使っていないので、余分なものをわざわざ考えない、ということなのではないでしょうか。）

ただ位相空間論のような本を読むときには距離空間を念頭においても良いと思います（だって、近い遠いを抽象したものなんですから。だたし、余分な性質も含んでいるのでそこは注意深く。ハウスドルフ的かどうかとか。ハウスドルフ的であればもう距離空間を思い浮かべてしまいますね）。抽象的な説明であればあるほど読む側は具体例を思い浮かべ、具体例であればあるほど抽象的に本質をつかもうとするのがいいのではないでしょうか？（数学に限らず、たとえば属人的な出来事からその背景にある歴史を読み取り、歴史の潮流からその時代の典型的は出来事を抽出するセンスが歴史を勉強することなのではないかと私は思います。．．．それがわからなかったので私は歴史の勉強が大嫌いだった。歴史上のあらゆる出来事が英雄によって成り立っていると考えるのはばかげているし、歴史の潮流のみによる記述は人間自身にとって意味がないような気がします。・・・理論と実験の関係に近いですね。）

回答No.4

shroeder

位相は物理の方で
sin ｘとｓｉｎ（ｘ＋ａ）のように同じ周期の振動の山のずれを
表す言葉として使われています。これはphaseの訳で、数学でいう
位相とは全く関係がありません。

数学では２つの意味で使われていて
ひとつは
位相空間（論）、または 一般位相 という意味で、これはgeneral topology
の訳です。日本語で単に位相といった場合はこちらの意味の場合が多いでしょう。
第2は
位相数学、または位相幾何 と呼ばれるもので、これは位相多様体と呼ばれる
ものを研究する分野です。ドーナツとコーヒーカップは”同じ”という
風に説明されているもので、これは位相同型で移れるものは同じとみなす
という幾何学のことで、英語ではこれを単にtopologyと呼んでいます。

距離空間であれば、点列の収束ということを考えることができます。
たとえばR＾２に普通のユークリッド距離を考えたものです。
別にx=(x_1、x_2)とy=(y_1,y_2)の間の距離を
d'(x,y)＝max (|x_1-x_2|,|y_1-y_2|）と定めれば、これは別の距離空間
（R^2は同じでも距離が違う）と考えられます。しかし、どちらの距離で
考えても、ある点列{a_n}があるαに収束するか否かは変わりません
（一方の距離で収束すれば他方の距離でも収束する）。その根拠は
d'(x,y)<=d(x,y)<=2d'(x,y)
（d はユークリッドの距離を表す）
のようになっているからです。

このような場合、２つの距離は同値な距離であると言われます。

一方距離が決められていると、開集合という概念を定義できて、たとえば
ｆ：R^2→R が関数のとき、ｆが連続であることは、Rの任意の開集合Vに対して
逆像ｆ＾{-1}（V)（つまり｛ｘ∈R^2｜ｆ（ｘ）∈V} のこと）
が開集合であることと言い換えることができます。
したがって、必ずしも距離が定まっていなくても、開集合という概念が
あれば、連続関数を考えることができます。
そのとき、いい加減なものを開集合としてしまうと都合がわるいので
それが満たすべき公理が決められています（先人達がいろいろ苦労して
この公理にたどり着いたのです）。これが下の回答に述べられている公理
です。

したがって、集合Xがあって、その部分集合を元とする集合が何らかの
方法で指定されていて、それが開集合の公理をみたしているとき
Xには位相が入っている、というのです。大切なことは、同じ集合X
であっても、いろいろな位相が入るということで、
１）すべての部分集合が開集合、というのと
2)空集合と全体集合Xのみが開集合
の２つが極端なものです。１）はディスクリートな位相と呼ばれるもので
どの２点もまったく離れていると考えるということで、２）の場合はどの
２点も限りなく近いと考えているということです。

このように集合Xがあったとき、それに追加的なテータを組み合わせたもの
を”構造”といいます。たとえば
Xの２つの元の積が定まって、結合律が成り立つものは半群で、
さらに単位元１と任意の元に対する逆元があれば群の構造が入った
といいます。
ベクトル空間は集合に足し算とスカラー倍が定まっていて、ある規則を
満たす構造のことです。現代の数学はほとんどすべてこの
集合＋構造
という考え方（というか、言葉）で書かれています。
位相もそういった構造の１つですが、現代の数学のほとんどに現れる概念
です。大学の図書館へ行ってブルバキ（Bourbaki)という著者（？）の
位相１（東京図書）という本の最初の２節くらいを読むと、位相空間の定義と
それが近傍という概念と同値であることを、最高に抽象的に書いてあります。
最初は何を言っているのか分からないかも知れませんが、虚心坦懐に
読んで、距離空間の場合と引き合わせて考えれば、徐々に分かるかも
知れません。慣れてしまえば非常に便利で快適な考え方で、レビィ=
ストロース達の構造主義もブルバキの影響を受けたものです。

位相の効用としては
たとえば、コンパクトという概念があって、コンパクトな空間の
上で定義された連続関数は必ず最大値・最小値を持つ、ということが
証明できます。これは、有界な閉区間で連続は関数は必ず最大値・最小
値を持つ、という定理の一般化になっています。これは距離がなくても
位相が入っていれば成立する定理であるというわけです。

R上には、大小関係とか、足し算、掛け算、１次元ベクトル空間の構造
とか位相の構造が入っているので、かえってわかりづらいので、
どの定理や性質は、どの概念の帰結で、他の概念とは無関係であるか
ということを明らかにすることが大切なのです。そのようにすると
R以外の対象について同じようなことを考えるためには何があれば
よいのか、ということがはっきりするわけです。たとえば四則演算
の構造を取り出して、抽象化したものが、体（field)と呼ばれるものです。

補足

> 一方距離が決められていると、開集合という概念を定義できて、たとえば
> ｆ：R^2→R が関数のとき、ｆが連続であることは、Rの任意の開集合Vに対して
> 逆像ｆ＾{-1}（V)（つまり｛ｘ∈R^2｜ｆ（ｘ）∈V} のこと）
> が開集合であることと言い換えることができます。

これってf^{-1}が存在する時に限って言える事で、一般的じゃないですよね？

それと

> したがって、必ずしも距離が定まっていなくても、開集合という概念が
> あれば、連続関数を考えることができます。

とのつながりが分かりません。
「距離が決められていると開集合という概念が定義できてfの連続性が定義できる、したがって、距離が定まっていなくても開集合という概念があれば連続関数を考えることが出きる。」って、論理的じゃない気がするのですが。
「Ａ∧(Ａ⇒Ｂ)⇒ＣしたがってＢ⇒Ｃ」っていう風に見えるのですが。

回答No.3

yfujii

数学的でなく直感的な回答です。
位相とは距離ですね。但し、その距離をどうやって計ったり、決めたりするかは
方法が色々あります。（グラフ用紙にも対数軸を使った物とか、時間軸を使ったりしますよね）
で距離の概念を数学的に言った物がtaropooさんの（Ｍ１）－（Ｍ３）ですよね。
ですから位相空間とは”距離が定義できる空間”という事になります。

補足

「距離は位相の一種である」という表現はあってますか？

回答No.2

prome

ここでいう位相とは、位相空間の定義でしょう。空間Ｘに対し、
開集合のセットΘ（アルファベットの"オー"の筆記体のつもり）が
与えられて、
１）φ∈Θ，Ｘ∈Θ
２）有限個のОn∈Θに対し、∩Оn∈Θ
３）任意個のОλ∈Θに対し、∪Оλ∈Θ
なる性質を持つ時、Θを空間Ｘの位相といい、Ｘを位相Θを持つ位相空間と
いい、位相空間（Ｘ，Θ）あるいは単に位相空間Ｘと書く（という定義だった
と思いますが、教科書で確認して下さい。なにぶん遠い過去の知識なので^^;）。

距離空間の位相は、距離関数から位相Θを定義してやればいいと思います。
各点のε近傍全体から生成される開集合のセットをΘとする。
これでよかったのではないかな？（うろ覚えですが）

位相は確かにトポロジーの和訳ですが、トポロジーをいつも（代数的）位相幾何学
と解釈すると、よくないと思います。

補足

「セット」って集合の集合のことですか？つまり集合を要素に持つ集合。本で読んだことがある気がするのですが日本語ではなんて言うんでしたっけ？

それとそもそもここでいう開集合ってどう定義されたものですか？
私は距離に基づいて定義された開集合しか知らないので。

１）～３）で位相が定義される事は紙の上では分かったのですがどうも今一ぴんと来ません。
１）～３）はそれぞれ感覚的に言うとどういう意味があるんでしょう？

回答No.1

motsuan

この場合の位相は、集合の元の関係で近い遠いのようなものを
表現したものとかんがえればいいのではないでしょうか？

この場合は、距離空間なので、
近傍系をとって、あのδ-ε論法を
集合で表したようなことができる
という意味だと思います。

補足

> 集合の元の関係で近い遠いのようなものを表現したもの

「位相∋距離」と考えていいですか？

> 近傍系をとって、あのδ-ε論法を
> 集合で表したようなことができる

例えばどんな感じですか？