解の配置

質問

問い7番が分かりません…
どなたか丁寧な説明おねがいできますでしょうか？…
宜しくお願い致します。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

失礼ながら，このような問題を質問されるということから，「絶対値」についての基本が不十分だと判断いたしました。
　そこで，まず絶対値について……。
　教科書には定義として『a＞0のとき|a|=a,　a=0のとき|A|=0,　a＜0のとき|a|=-a』あるいは前の２つをまとめて『a≧0のとき|a|=a,　a＜0のとき|a|=-a』などと紹介されています。
　又，『絶対値は２点間の距離』などとも言いますね。２つの数aとbの間の距離は（大きい数から小さい数を引きますから，a＞bの時はa-b，a=bのときは0，a＜bのときはb-aとなりますね。ですから，aと0との距離(aの絶対値)は，『a＞0のとき|a|=a,　a=0のとき|A|=0,　a＜0のとき|a|=-a』となるのです。絶対値の復讐はここまででよろしいですか。

（ア）について
k＝1だから，|x^2+2x-3|=k+4より|x^2+2x-3|=5
ここで，上記の絶対値の定義を使って，|x^2+2x-3|の絶対値記号を外してゆきましょう。
『a≧0のとき|a|=a,　a＜0のとき|a|=-a』のaに当たるのがx^2+2x-3です。
a≧0のとき|a|=aとあるので，『x^2+2x-3≧0のとき|x^2+2x-3|=x^2+2x-3』となるのですが，『x^2+2x-3≧0のとき』がこのままでは使えませんね。そこで，２次不等式x^2+2x-3≧0を解く作業が必要になります。
x^2+2x-3≧0⇔(x+3)(x-1)≧0⇔x≦-3又はx≧1
x^2+2x-3＜0⇔(x+3)(x-1)＜0⇔-3＜x＜1
となりますから

x≦-3又はx≧1……①のとき
|x^2+2x-3|＝x^2+2x-3なので
|x^2+2x-3|＝5より，x^2+2x-3＝5
x^2+2x-8＝0
(x+4)(x-2)＝0
x＝-4，x＝2
これは場合分けの条件①を満たしているからともに解である。
-3＜x＜1……②のとき
|x^2+2x-3|＝-(x^2+2x-3)なので
|x^2+2x-3|＝5より，-(x^2+2x-3)＝5
x^2+2x-3＝-5
x^2+2x+2＝0
(x+1)^2+1＝0と変形できるからこれを満たす実数は存在しない。
従って，解は-4，2……（答）

（イ）について
　基本的戦略として，y=|x^2+2x-3|のグラフ(これは固定してグラフになります)とy=|x^2+2x-3|のグラフのグラフ(これはx軸に平行な直線で，kの値によって上下に動きます)との共有点の個数がkの値によってどう変わるかを調べれば良いのです。
　まずy=|x^2+2x-3|のグラフを書きましょう。（短絡的に，絶対値記号のないy=x^2+2x-3のグラフを書いて，y＜0の部分を上に折り返せばよいと考え方もありますが，これは応用が利かないのです。ですから基本から行きます）

（ア）のところで調べた通り
x^2+2x-3≧0⇔(x+3)(x-1)≧0⇔x≦-3又はx≧1
x^2+2x-3＜0⇔(x+3)(x-1)＜0⇔-3＜x＜1
です。つまり，関数は
x≦-3又はx≧1のとき，y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4
-3＜x＜1のとき，y=-(x^2+2x-3)=-(x+1)^2+4
となります。これで，y=|x^2+2x-3|のグラフが描けます。
y軸との交点はの座標は(0, 3)であることも重要です。

y=|x^2+2x-3|のグラフと(直線)y=k+4のグラフが，x＜0の側で，３点を共有するような直線の位置からkの範囲がわかります。結果は
3＜k+4≦4
から
-1＜k≦0……（答）

（ウ）について
　これもy=|x^2+2x-3|のグラフとy=k+4のグラフが異なる４点を共有するのだから
0＜k+4＜4
-4＜k＜0……（答）

（エ）と（オ）について
α1とα4は２次方程式 x^2+2x-3＝k+4，すなわちx^2+2x-(k+7)＝0の解だから
α1+α4＝-2，α1*α4＝-(k+7)
α2とα3は２次方程式 -(x^2+2x-3)＝k+4，すなわちx^2+2x+k+1＝0の解だから
α2+α3＝-2，α2*α3＝k+1
となります。
従って，α1+α2+α3+α4＝-2-2＝-4……（答）
また
α1*α2*α3*α4＝-(k+7)*(k+1)
α1*α2*α3*α4＝5
より
-(k+7)*(k+1)＝5
k^2+8k+12＝0
(k+6)(k+2)＝0
k＝-6またはk＝-2
然るに，（ウ）で求めたように，（y=|x^2+2x-3|のグラフとy=k+4のグラフが異なる４点を共有する条件）
-4＜k＜0
であるから，これを満たすのは
k＝-2……（答）
となります。
長くなりましたが，頑張ってください。

お礼

わざわざご丁寧な対応、説明本当にありがとうございました。
とても分かりやすく、学校で解説されてもよく分からなくて困っていたので助かりました。
絶対値については大分アバウトに解釈していたのでこの機会に見直ししたいと思います。
来年は受験生なので頑張ります！！