図形の問題で聞いたことがあるのですが、答えがわかりません。

質問

こんにちは。

早速なんですが、以下の質問で
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=774623
答えは出ているのですが、この問題を√(ルート)を使わずに
解けると聞きました。
実際どうなんでしょうか？？
もし解けるとすればどうすればいいでしょうか？？
この回答にあるとき方は分かるのですが、
微分積分なども使わずに解けるんでしょうか？？
ずっと考えてるんですが、まったく分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

yukichi623 · ベストアンサー

補足の内容から察するに、ルートの概念を用いずに解けるということだと思います。

何か2乗して、3になるものを考えたいわけですね。
そう考えていくと、1.5を2乗すると、2.25になります。
また、2を2乗すると、4になります。

だから、2乗して3になるものは、少なくとも1.5と2の間の数字だろう。
という考えることができます。

正三角形うんぬんの話は、微妙に間違っています。
正確には、一辺2cmの正三角形を書きます。
頂点から、底辺を2等分するように垂線を引きおろすと、底辺が1cm、斜辺が2cm、高さが√3cmの直角三角形ができますよね？
ここで、ピタゴラスの定理（三平方の定理）を思い出します。
直角三角形の斜辺の長さの2乗は、その他2辺をそれぞれ2乗して足し合わせたものに等しい、といったものでしたね。
ピタゴラスの定理を用いると、この一辺2cmの正三角形の高さは、ちょうど2乗して3になる値なのだということがわかります。

というわけで、この正三角形の高さこそが2乗して3になるものであり、最初に求めようとしていた数字だということがわかります。
んでまぁ、正確に一辺2cmの正三角形を書いて、高さを定規で測ったとしても、大体1.7cm位かな？といった程度にしかわかりませんよね？
そういった意味で、小数を2回かけて3になる数字は、1.7位だってことがわかるのです。

”ルートを使わずに解いた”ということは、”ルートの概念を用いなくても、三平方の定理がわかってれば解けるよ”といった意味ですね、きっと。
三平方の定理自体は、正方形の面積の出し方がわかれば、簡単に納得できますからね。

以上でどうでしょうか？

お礼

yukichi623さん、ありがとうございます。

納得です。
＞直角三角形の斜辺の長さの2乗は、その他2辺をそれぞれ2乗して足し合わせたものに等しい

確かにこの定理を使って計算していけばルートを用いずにとくことが出来ますね。

んー、数学が苦手な自分にもよく理解できました。
丁寧にありがとうございました。

回答No.4

tkm

>小数を２回掛けたものが３になる数は、１．７３位であること

これに関することで参考になればと思ってレスさせてもらいます
私も似たような問題を小学校の時に塾で出題され四苦八苦しておりました
ルートの概念はしっていたもののなんとかしてルートの値を求めないと答えが出ないと思って私達は必死で√2の値を求めようとしてました
その方法とは

1^2=1　2^2=4　　　∴1<√2<2
1.5^2=2.25　　　　∴1.5<√2<2
・・・
これをやってくと1.7<√2<1.8がわかりました
なぜ１．７３まで出るのか？とお思いかもしれませんがなんてことはない、どんどん計算していくのです
小学生の知的好奇心はオトナが思うよりずっと大きく数学に興味のある子ならどんどん計算していきます
最終的に私は1.72くらいまで計算して先生が来て解答をいってくれました…
結局ルートを用いなくても近似値なら出せるということですね
まあ真の解という意味では最低でも中３レベル（平方根、三平方の定理）は必要ということだと思いますが…

お礼

tkmさん、ありがとうございます。

＞私も似たような問題を小学校の時に塾で出題され四苦八苦しておりました

みなさん、小学生のときにやられてるんですね～。

よく分かりました。確かに地道に計算を重ねればルート３に近い数字が出てきますね。

ありがとうございました～。

回答No.2

mame594

懐かしいですねえ．４０年近く前の小学生向けの「力の５０００題」という問題集にも出ていた問題です．特徴的な問題だから結構頭に残っているものですね．
基本的には一辺aの正三角形の高さが√3a/2というのは必要となります．√3を1.7とか1.73とか表現するにせよこの理解は天下りにせよ要ります．問題集でも与えられていたと思います．
従って，この条件さえ与えられれば小学生でも理解はできると思います（問題集に出ているくらいだから）．円と三角形の組合せだからもちろん積分は不要です．

補足

mame594さん、どうもです_(._.)_

４０年前ですか？？自分には想像もつかないくらい前に出題されてたんですね～。

＞基本的には一辺aの正三角形の高さが√3a/2というのは必要となります．
＞√3を1.7とか1.73とか表現するにせよこの理解は天下りにせよ要ります．
＞問題集でも与えられていたと思います．

リンク先の質問のANo.7で言われていることがいまいち理解できないのですが、
＞小数を２回掛けたものが３になる
＞小数を２回掛けたものが３になる数は、１．５と２の間にある
＞一辺を１０ｃｍの正三角形を書いて「高さは大体１．７ｃｍだ」
＞、「小数を２回掛けたものが３になる数は、１．７３位であること」
これはどういうことでしょうか？？
ルートを使わずに解いた、ということでしょうか？

この問題はルートを使わずに解けると言っていた人も小学校の時に出された問題だと言っていました。
だからルートは使っていない(理解できない)と。
数学はおもしろいけど疲れますねｗ

回答No.1

arukamun

ルートを使わずには無理ですが、積分を使わずには解けます。
なぜ無理かは正三角形の面積が絶対に必要だからです。

正方形の一辺の長さをａとして、

一辺ａの正方形の面積＝ａ×ａ＝ａ＾２
一辺ａの正三角形の面積＝ａ×（（ａ√３）／２）÷２＝（（√３）ａ＾２）／４
半径ａの円の面積＝ａ×ａ×π＝πａ＾２

［一辺ａの内部に出来る手裏剣型の面積］＝［一辺ａの正方形の面積］－４×［富士山型の面積］

［富士山型の面積］＝［一辺ａの正方形の面積］－［一辺ａの正三角形の面積］－２×［一辺ａの３０度の扇形の面積］
＝［一辺ａの正方形の面積］－［一辺ａの正三角形の面積］－［一辺ａの６０度の扇形の面積］
＝［ａ＾２］－［（（√３）ａ＾２）／４］－［（πａ＾２）／６］
＝（１２ａ＾２－（３√３）ａ＾２－２πａ＾２）／１２
＝（（１２－（３√３）－２π）ａ＾２）／１２

［一辺ａの内部に出来る手裏剣型の面積］＝［一辺ａの正方形の面積］－４×［富士山型の面積］
＝［ａ＾２］－４×［（（１２－（３√３）－２π）ａ＾２）／１２］
＝ａ＾２－（（１２－（３√３）－２π）ａ＾２）／３
＝（（３－１２＋（３√３）＋２π）ａ＾２）／３
＝（（２π＋（３√３）－９）ａ＾２）／３

お礼

arukamunさん、回答ありがとうございます。

やはりルートなしには無理ですか。
たしかに正三角形の高さがどうやっても出ないですよね。
(それで解けなかったわけですが)

arukamunさんが書いてくださった解答は理解できます。
丁寧にありがとうございました。