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複素数の極形式

r(≠0),θは実数で、r(cosθ+isinθ)は代数的数とする。 このときcosθも代数的数であることを示せ。 うまく示せません。教えて下さい。

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回答No.1

代数的数全体が体をなすことはいいですかね？（証明が必要な場合は一旦ご自分で確認してください。すごく長くなるので） z=r(cosθ+isinθ)が代数的とすると、ある有理数係数の一変数多項式fがあって、zはfの根となる。zの複素共役conj(z)もfの根であるから代数的である。 代数的数全体は体をなすから、r^2 = z * conj(z) も代数的である。r^2が根となるような有理数係数の一変数多項式の一つをg = g(x) とすれば、rは g(x^2)の根となるから、代数的である。 従って、再び代数的数全体は体をなすから、 cos(Θ) = (1/2) (1/r) (z + conj(z)) も代数的である。

Marico_MAP
質問者

お礼

なるほど…！ rの扱い方、これは思いつきませんでした。 ありがとうございました。

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