正八面体のある面に蟻がいる。この蟻は、1秒後にこの

質問

正八面体のある面に蟻がいる。この蟻は、1秒後にこの面を囲む3辺から無作為に選んだ1辺を挟んで隣り合う面に移動する。さらに1秒後には、移動後の面を囲む3辺のうち1辺を無作為に選び、その辺を挟んで隣り合う面に移動する。
このような移動を繰り返すとき、この蟻が最初から6秒後に最初にいた面にいる確率は61/243となるようですが、なぜかがわかりません。教えて下さいませんか？

回答No.1

eatern27b · ベストアンサー

最初にいる面をA
Aの反対側の(Aに平行な)面をD、
Aと辺を共有している面(3つ)をB
Dと辺を共有している面(3つ)をC
と分類し、n秒後にAにいる確率をa_nなどとおく事にします。
例えばAにいる蟻は一秒後は必ずBにいます。Bにいる蟻は1/3でAに、2/3でCに移動するなどと考えると、a_n～d_nの漸化式が立てられるのでこれを使ってa_6を求めて下さい。

a_6だけ求めればいいのであれば、偶数秒後は必ずAかCにいる事を使うといくらか楽できるはず。

お礼

もう一度最初から計算し直したところ、答え出すことができました。ありがとうございました。

補足

漸化式は以下のようになりました。
a_[n+1]=1/3b_n
b_[n+1]=a_n +2/3c_n
c_[n+1]=2/3b_n +d_n
d_[n+1]=1/3c_n
これを整理すると、
c_[n+2]=2/3b_[n+1] +1/3c_n
b_[n+2]=1/3b_n +2/3c_[n+1]
になり、さらにこれを整理すると、
3/2b_[n+4]-3/5b_[n+2]+1/6b_n=0
となってしまい、特性方程式の解が±1/3と±1の4つになってしまいました。この後どうやって求めればよいのでしょうか？