代数その2

質問

代数の基礎問題です、模範解答お願いします。

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回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

これもまずはヒントだけ。先ずは一度自分で解いてみて、分からないところは補足に下さい。

(1) 一般に、一般の体Kに対し、K[x]はEuclid整域となる。従ってQ[x]もEuclid整域である。そこでEuclidの互除法を思い出せ。
特に、f, g, d, r ∈ Q[x]に対して、 f = gd + rなる関係が成り立つとき、fとgから生成されるQ[x]のイデアルは、gとrから生成されるイデアルと等しい事（何故か？）に注意せよ。
(2) イデアルである事の定義を満たす事を確認せよ。a,b,c∈R、n,mを自然数とした時、a^m = 0, b^n = 0ならば (a+b)^(m+n) = 0 （二項定理を使え）, (ca)^m = 0（可換環である事に注意）である事を示した上で、これを利用せよ。

お礼

ありがとうございますー