線形代数 行列について

質問

線形代数の行列について
下の6.7.8問題を解いてください。
解ける問題だけでもお願いします
解答は写真で送ってくださっても結構です。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

7.
(P*(-1)*A*P)^2=(P*(-1)*A*P)(P*(-1)*A*P)=P*(-1)*A^2*P
のように計算できるので，題意は明らか。数学的帰納法を使って証明すればよい。
8.
E=A-A^2=A(E-A)だからE-AはAの逆行列
9.
A^r=EならばA*A^(r-1)=EとなってA^(r-1)はAの逆行列
Aが正則ならばA^2=Aの両辺にA^(-1)をかけてA=Eとなり仮定に反する
Aが正則ならばA^r=Oの両辺にA^(-1)を次々にかけてA=Oとなり仮定に反する
A^r=Oならば(E-A)(E+A+A^2+...+A^(r-1))=E-A^r=EとなってE+A+A^2+...+A^(r-1)がE-Aの逆行列

お礼

ありがとうございます。
こちらの問題も解いてくださると嬉しいです
https://qa.itmedia.co.jp/qa9618643.html