数学の質問です。

質問

すみません。以下の問題が分かりませんので、教えてください。よろしくお願いします。
A、Bを相異なる1以上9以下の整数とします。13ABが13とABの積の整数倍に等しいとき、A、B にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。ただし、「13AB」は4桁の整数、「AB」は2 桁の整数をそれぞれ表します。
例えば、1734＝17×34×3と、２桁の数の積の整数倍になるとのことです。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

「AB」=x　とすると、題意から　1300+x=13xn (nは整数）
x=1300/(13n-1)…（１）
xは2桁の正の整数だから
10≦1300/(13n-1)≦99 これを解くと2≦n≦9 …（２）

（１） より　x=13・{100/(13n-1)}　…(１')
13n-1はnの値にかかわらず13の倍数となることはないので、xが整数となるのは13n-1が100の約数のときである。
（２）の範囲では25≦13n-1≦116　であり、この範囲での100の約数25,50,100となるnの整数値はn=2のとき（13n-1=25）のみである。

（１'）にn=2を代入して、x=13・4=52　　　【検算】1352=13×52×2

回答No.2

69015802

整数倍の倍数をXとすると
13AB=X＊13＊ABですが左辺は1300+ABと置き換えることができます。
Xを左辺に置くと、X=(1300+AB)/(13＊AB）となりこれを書き換えると
X=100/AB+1/13　Xは整数なので式が成り立つ条件を満たすABは52しかありません。

お礼

ありがとうございます。やり方がまったく分からなかったので、困っていましたが、よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

13ABは1312以上1398以下の13の倍数なので、可能性としてあるのは
1313 = 13 * 101
1326 = 13 * 102
1339 = 13 * 103
1352 = 13 * 104
1365 = 13 * 105
1378 = 13 * 106
1391 = 13 * 107
しか無いが、更に13ABは13 * ABの整数倍とも言っているので、例えば1313 = 13 * 101の場合だと、101が 13 (=AB)の倍数、つまり101が13(=AB)で割り切れないといけないが、この場合はダメである。
後は一つ一つ調べれば、数は多くないのでいいでしょう。

お礼

ありがとうございます。力ずくで１つ１つ調べていくのですね。時間はかかりますが、確実ですね。