線形代数

質問

緑線の2つが同地であることを証明してほしいです

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回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

本題の更に準備。以下、f, h∈K[x]に対し、あるd∈K[x]が存在し、f=hdとなるとき、hはfを「割り切る」といい、h | f で表す。

K[x]はPIDである故、f,g∈K[x]に対し、d∈K[x]が存在し、 (f,g) = (d)となる。d | f , d | gであるが、同時にある s, t∈ K[x]が存在し、 sf + tg = d となる（イデアルの定義をもう一度確認すること）。ここで、 h | f, h | gなる h∈K[x]を取ると、 f = vh, g = wh なる v, w∈K[x]があるが、この時 d = h (sv + tw)となるから、 h | dとなる。

つまり、「f, gの公約元 h は、 d = (f, g)の約元となる」。

そこで本題。 f, g∈K[x], f≠0, g≠0とする。この時 f∈ (f,g)であるから、(f,g)≠(0)。
◯ 左⇒右
(f,g) = (d), d∈Kであるなら 1 = (1/d) * d∈ (f,g)となるから、(f,g) = K[x]。従って(f,g) ≠ K[x]ならば、(f,g) = (d)とおくと、d∉K。よって deg(d)≧1である。又、イデアルの定義により、d | f, d | gである。
対偶を取ると、d | f, d | gならdeg(d) = 0であるなら、(f,g) = K[x]である。
◯ 右⇒左
(f, g) = K[x] = (1)であるとき、今上で言った事から、h | f, h|gであるなら、h | (f,g) 。よって、h | 1 。即ち h∈Kである。

回答No.4

tmppassenger

最後の方

> (f, g) = K[x] = (1)であるとき、今上で言った事から、h | f, h|gであるなら、h | (f,g) 。よって、h | 1 。即ち h∈Kである。

「h | (f,g)」という部分は不要。

回答No.2

tmppassenger

なるほど... K[x]がPIDになる事は、代数の標準的な本なら書いてあるはずなので、何か（詳しめの）本を買った方が、今後の役に立つと思います。

ここでは一応書いておきます。

先ずK[x]が整域になる事は、f,g∈K[x], f≠0, g≠0とすれば、f, gそれぞれの最高次の係数は非零であるから、f*gの最高次の係数も非零になるので、f*g≠0となるから、K[x]が整域であることが言える。

K[x]がPIDになる事は次のように言える。K[x]の任意のイデアル I を取る。I = {0} なら、I = (0) だから、I≠{0} とする。Iの要素の中で、0ではない、次数が最も低いもの（の一つ）を d とする。この時 I = (d)である。これを証明する。
以下、f∈K[x]に対し、deg(f)でfの次数を表す。
I≠(d)ならば、f∈ I で、fがdの倍元でないものがある。従って、あるg,h∈K[x] があって、f = gd + h, deg(d) > deg(h), h≠0となる （要は、fをdで割ると、余り hが非零となる）。これを h = f + (-g) dと書き直してみると、f∈I, d∈I であったから、(Iはイデアルであるから） h∈ I となる。なおかつ deg(d) > deg(h), h≠0であったから、これは 「dがIの要素の中で、0でない、次数が最も低いもの」という事に反する。
従って、 I = (d)である。従って、K[x]の任意のイデアル I が I = (d)と書けるから、K[x] はPIDとなる。

一旦ここまで。

回答No.1

tmppassenger

線形代数ではないですが...

回答の前に、一般に体Kの一変数多項式環K[x]が単項イデアル整域となることはいいですか？

お礼

PIDになるのはちょっと理解できてないです