線形代数

質問

問題は(１)～(５)まであるのですが(４)だけが分かりません。
お願いします。

ｘ,Ｒ,Ｖ,v　はベクトルです。

ベクトル　v1 v2 v3 について
Ｖ＝｛ｘ＝Ｒ^3 ｌ ｘ＝ αv1 ＋ βv2 ＋ γv3　、α,β,γ∈Ｒ｝

「v1,v2,v3 が一次独立であることは(２)で証明済み」

(４)Ｖ＝Ｒ^3　を示せ。

［１］Ｖ⊆Ｒ^3
［２］Ｖ⊇Ｒ^3
の２つを証明すればいいことまでは分かりました。

［１］は問題文 Ｖ＝｛ｘ＝Ｒ^3 ｝より成り立つ

［２］の証明が分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

とりあえず、質問文の間違いは、
R と V はベクトルじゃないことと、
V の定義は =｛ x∈R~3｜ … じゃないとマズイこと
なんだけど、そこが要点でもなかろう。

証明のポイントは、R~3 の定義をどう処理するか
にあると思われ。

ベクトル空間は、基礎体と次元が決まれば定まる
から、R~3 と書けば十分…という所まで
了解が進んでいるとすれば、証明は、
「一次独立なベクトル3個だから。」で終わり。

そんなウッチャリが許されないなら、
v1,v2,v3 を R~3 の標準基底の上に成分表示して、
成分のなす 3×3行列が正則になることを
v1,v2,v3 の一次独立によって示す
ことになるだろう。

お礼

集合記号が違いますし、Ｖ,Ｒは集合でしたね・・・
集合記号を出すのに手間取っていたら写し間違えました。
指摘ありがとうございます。

簡潔な答えですね。
どちらがいいのかはもう一度問題を見直して考えます。
回答ありがとうございます。

「koko_u_u」さんもおそらく回答をくれそうなので
その後に締め切ってポイント付けさせてもらいます。

回答No.1

koko_u_u

とりあえず、質問文をもう一度読み直して、間違いを直して補足にどうぞ。

お礼

すいません。
問題文の間違いですよね？
それとも、私の考え方ですか？

とりあえず、
問題文なら
Ｖ＝｛ｘ∈Ｒ^3 ｌ ｘ＝ αv1 ＋ βv2 ＋ γv3　、α,β,γ∈Ｒ｝
(Ｒは実数)
ですよね？
v1,v2,v3の行列は省いています。

考え方なら
［１］［２］が成り立つ
つまり、「ＶとＲ^3が互いに部分集合」ならば
「Ｖ＝Ｒ^3」
これは間違いですか？

補足

Ｖ＝｛ｘ∋Ｒ^3 ｌ ｘ＝ αv1 ＋ βv2 ＋ γv3　、α,β,γ∈Ｒ｝