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漸化式の極限の問題
0<a(1)<b(2) をあたえて数列a及び数列bを a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2) , b(n+1)=(a(n)+b(n))/2 (nは自然数) と定義する。このとき、数列a及び数列bが同じ値に収束することを証明せよ。 という問題が分かりません。 どなたかよろしくお願いいたします
- samidareitsuka
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まず最初の前提は0<a(1)<b(1) だと思うがいかが？ 数列aは単調増加 a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2)>(a(n)*a(n))^(1/2)=a(n) 数列bは単調減少 b(n+1)=(a(n)+b(n))/2<(b(n)+b(n))/2=b(n) いつでもa(n)<b(n) a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2)<(a(n)+b(n))/2=b(n+1) .....相加相乗平均を思い出すこと。 この3つから数列a及び数列bが同じ値に収束すると言える。
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- f272
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#1です。 3つの条件だけでは，数列a及び数列aが収束することは言えるが，同じ値に収束することまでは言えなかった。最後にそれぞれの収束先をAおよびBとでもおいて，ちゃんとA=Bであることを言ってください。
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