図形と計量で質問です

質問

画像の問題で、Dの接線が図の赤線になるとき、□ABCDの面積が最大になるのはわかったのですが、このときなぜAD=CDになるのかわかりません
どなたか教えてください（泣）

回答No.5

asuncion

＞よって△ACD3は二等辺三角形だからAD3 = CD3
続き。
△AED3と△CED3はともに直角三角形で、斜辺AD3とCD3が等しく、
かつED３は共通だから、△AED3 ≡ △CED3
よって∠AD3E = ∠CD3Eだから、線分D3Eは∠AD3Cを二等分している。

回答No.4

asuncion

説明のしかたを変えます。
D3を通る直線をA～Cの方向と同じくFD3Gとする。
このとき、接弦定理より∠AD3F = ∠ACD3（以下、∠Cとする）,
∠CD3G = ∠CAD3（以下、∠Aとする）
∠AED3 = ∠CED3 = ∠ED3F = ∠ED3G = 90°だから、
△AED3において内角の和は90° + ∠A + 90° - ∠C = 180° + ∠A - ∠C = 180°
だから∠A = ∠C
よって△ACD3は二等辺三角形だからAD3 = CD3

回答No.3

staratras

No.2です。誤記を訂正します。2乗が抜けていました。
誤：(x-y)≧0　だから　xyの値が最大となるのは明らかにx=yの場合
正：(x-y)^2≧0　だから　xyの値が最大となるのは明らかにx=yの場合

回答No.2

staratras

計算で解くこともできます。AD=x,CD=y とします。

四角形ABCDの面積が最大になるのは三角形ADCの面積が最大となるときで、四角形ABCDは円に内接するので∠ADC=60度だから、
三角形ADCの面積は、(1/2)xy・sinADC=（√3/4)xy　で、xyが最大のとき面積が最大です。

一方、三角形ACDに余弦定理を適用すると
AC^2=x^2+y^2-2xycosADC から　13=x^2+y^2-xy
つまり、x^2+y^2-xy-13=0　が成立しますがこれを変形すれば
(x-y)^2+xy-13=0 から、xy=13-(x-y)^2 となります
(x-y)≧0　だから　xyの値が最大となるのは明らかにx=yの場合です。

このときxyは最大値13をとり、三角形ADCの面積が最大となり、四角形ABCDの面積も最大となります。

回答No.1

asuncion

D3からACにおろした垂線の足をEとする。
このとき、∠B = 120°より、∠AD3C = 60°（∵□ABCD3は円に内接しているから）
線分D3Eは∠AD3Cを2等分する。
よって∠AD3E = ∠CD3E = 30°だから
△AED3と△CED3はともに30°、60°、90°の直角三角形で互いに合同。
∴AD3 = CD3

補足

ありがとうございます！
なぜD3Eは∠AD3Cの二等分線になるのですか?