1,1/2,1/3,…を足し引きして任意の数

質問

大学1年生の解析で、逆数列の正負を変えてたしていくと、任意の数に収束させることができる、と習いました。
これは調和級数1+1/2+1/3+・・・が発散するから、というのは理解できるんですが、
１　n項（1/n)までを足し引きして、例えば３とか２にぴったりすることはできま
　　すか？
２　収束させる数は超越数でもいいんでしょうか？

初歩的な質問ですみません。

回答No.3

tmpname · ベストアンサー

1.
Σ[1≦k≦n] (-1)^(s(k)) (1/k) （nは『2以上の』整数、s(k) [1≦k≦n]は0か1のどちらか、で無限級数ではなく『有限和』で止める）が、整数になるか、という問題だと思いますが、これはなりません。とある本の演習問題に書いてあったのは覚えていますが、どの本だったか忘れた。せっかくなので、証明してみてください。

ヒント：S= Σ[1≦k≦n] (-1)^(s(k)) (1/k) が整数なら、Sに何の整数をかけても当然整数である。ここで、2^m≦nとなる最大の整数mをMとする。n≧2から、M≧1である。また、n以下のすべての奇数の積をPとする。
この時、(2^(M-1)) * P * Sが整数であると仮定して矛盾を導け。

因みに、無限級数を考えているのでしたら、「任意の」実数に収束させることが出来る、といっているのですから、当然任意の整数の値にも収束させられますよね。

2.
「任意の」実数に収束させることが出来る、といっているのですから、当然そうですよね。

お礼

回答いただけてありがとうございます。
１．多分ないですよね。証明かんがえているところです。ありがとうございます。
２．「任意の」だから整数、無理数、超越数問わないですよね。
教えていただけてうれしいです。ありがとうございます。

回答No.4

tmpname

因みに、（1はいいとして）2のような質問が出てくる、という事は、定理の証明を本当には理解してない、と思われますが、任意の数αを与えた時、『逆数列の正負を変えて足していって、αちょうどに収束させる』手続き（つまり証明）は、分かっていますか？

お礼

回答いただけてありがとうございます。
「任意の」だから関係ないですよね。ご指摘ありがとうございます。

回答No.2

maiko04

色々ありますね。整数ではないですが、５つほど。
１．1-1/3+1/5-1/7+1/9......=
２．1/1^4+1/3^4+1/5^4....=
３．1/1^4+1/2^4+1/3^4...=
４．1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6…=
５．1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!...=

お礼

間引かないでしたいのですが・・・。

回答No.1

EH1026TOYO

--逆数列の正負を変えて足していくと任意の数に収束させることができる--
↑一寸意味の分からない言い回しなのだが・・

恐らく条件収束する級数に関する「リーマンの定理」の事を言っているのだとは思うが
"任意の数"に収束させ得る訳ではない・・!
与えられた条件収束級数の項の順序を任意に変えた時に、その新しい級数が任意に与えられた級数の和(発散、振動含め)を持たせ得るという事だと思う・・!

(1)は
交代級数：1-1/2+1/3-1/4+-… (=log2)
の第n項までの和を考えて、項の順序を任意に変えて2,3とかの整数に出来るか!?
という意味にとれるが・・、
そう解釈した場合,新たに生じさせた(第n項までの(有限)交代級数和)の和は整数にはならないと思う・・!

(2)は質問の意味がよく分らない・・!?

お礼

回答いただけてありがとうございます。