数学III 積分 立体

質問

座標空間において、3点A(-2, -2, 0), B(6, -2, 0),c(-2, 4, 0）をとり、
球S : x^2+y^2+(z-4)^2≦4とする。点Pが△ABCの周および内部を、点Qは球Sの表面および内部を動くとき、線分PQの中点Mが動いてできる立体をVとする。
(1)点Pを固定したとき、中点Mの軌跡を求めよ。
　P(a,b,0)とおく。　(x-a/2)^2+(y-b/2)^2+(z-2)^2≦1

(2)立体V の体積を求めよ。

(2)の解説をお願いします。

よろしくお願いします。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

(1)点Pを固定したとき、中点Mの軌跡を求めよ。
　P(a,b,0)とおく。　(x-a/2)^2+(y-b/2)^2+(z-2)^2≦1 ... (*1)
A(-2,-2,0), B(6,-2,0), C(-2,4,0)
Pの範囲は△ABCの周囲と内部
AB=8, AC=6, BC=10, △ABCは3辺がAB=8, AC=6, BC=10の直角三角形
(周囲の長さ=24)
(*1)の中心の軌跡は, △A'B'C'は3辺がA'B'=4, A'C'=3, B'C'=5の直角三角形
但し, A'(-1,-1,2), B'(3,-1,2), C'(-1,2,2)
(周囲の長さ=12)

(2)立体V の体積を求めよ。
>(2)の解説をお願いします。

真ん中の三角柱部分, 3つのかまぼこ型の部分, 3つの半径1の分割球体(一つの球分)
に分割して考える。
V=((1/2)3*4*2+(1/2)π*1^2*(4+3+5)+(4/3)π*1^3=12+6π+(4/3)π
=12+(22/3)π

お礼

ありがとうございました。無事に解決できました。