掛け算の順序について

質問

掛け算の順序問題があるという話を聞きました。

『「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定義する。この時の「2×4」に対するyを答えよ』と言う問題があったとします。

この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？

私は「10」の一つだけだと思っていますが、数学的に正しい解答はどうなるのでしょうか？
特に「掛け算には順序が無い」という方の意見が聞きたいと思いますので、よろしくお願いいたします。

回答No.18

biyurisuku

失礼を承知の上で、私の意見を伝えやすくするため、質問者様の例題を以下のように解釈させていただきます。

f(a,b)=a×b
g(f(a,b))=a×(b+1)
とし、a=2、b=4のときのgを求めよ。

g(f(2,4))=10 であるのは例題文より自明です。

また、掛け算の交換法則よりf(2,4)=2×4=4×2=f(4,2)となりますが、これを利用すると
g(f(2,4))=g(f(4,2))=12
となってしまうという話でした。

これは、gを多価関数だと認め、
g=10,12とするのが自然だと思います。
よって、質問者様のおっしゃるyも、10と12の両方を解答と認めた方がよいかと思います。
一組の入力に対して、複数の出力が示させるというのは、数学ではよくあることでしょう。

補足

回答ありがとうございます。

>失礼を承知の上で、私の意見を伝えやすくするため、質問者様の例題を以下のように解釈させていただきます

私は「f(a,b)」という表現はしていませんし、「a=2、b=4」とも指定していませんが、あなたはどう解釈しますか？と、私があなたに聞いている、という話ですので、それで特に問題ありません。
ところで、わざわざ「f(a,b)」という表現に変換して考慮するのは#4さんのように「a×b」という表記が混乱をきたすような曖昧さがあるという認識なのですね。

>また、掛け算の交換法則よりf(2,4)=2×4=4×2=f(4,2)となりますが、

#5さん、#12さんは、「交換法則」ではなく、「2×4」は積であり「8」であるという解釈のもと、「a=2、b=4」「a=4、b=2」「a=1、b=8」「a=8、b=1」という複数の組に合わせが存在する、という考えのようです。
この場合は順に「10」「12」「9」「16」が解答ということになるのでしょう。

>よって、質問者様のおっしゃるyも、10と12の両方を解答と認めた方がよいかと思います。

あなたのやっていることも結局#5さん、#12さんのように「f(2,4)→8→f(?,?)」ということだと思うのですが、「9」や「16」が含まれないということは「交換法則」のように名前の付いていないものは認めないといったところでしょうか。

>一組の入力に対して、複数の出力が示させるというのは、数学ではよくあることでしょう。

掛け算の交換法則より解答は複数(2つ)というご意見ということですね。

回答No.17

bunjii

>そもそも「掛け算の順序問題」についての話題なのですが、あなたはこれについて把握されているのでしょうか？
「掛け算の順序問題」と「乗法の交換法則」は論点が違いましたね。
『この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？』と言う文言があったので本来の「掛け算の順序問題」を「乗法の交換法則」と取り違えたようです。
「掛け算の順序問題」は設問の全文を提示して頂けないと判断が困難です。「https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%8B%E3%81%91%E7%AE%97%E3%81%AE%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%95%8F%E9%A1%8C」等を読んであなた自身が判断するしかありません。

回答No.16

miso_kasu

>単に「a×b」と「a×(b+1)」の2つの数(式)がある、というだけの話です。
>「ある自然nがあったときこれより1大きい数をnを用いて表せ。」
であれば、i=b+1を使って「a×i=i×a」->「a×(b+1)=(b+1)×a」のように考えられませんか？
「a×(b+1)=(b+1)×a」->「2×(4+1)=(4+1)×2」->「2×5=5×2」

>今回の話は、これに毛が生えた程度の話でしかありませんよ。
乗法の交換法則ですよね？
「被乗数×乗数=答え」のように記憶していますが、この数式の被乗数と乗数の値を入れ替えても答えは同じになることを「乗法の交換法則」と言うのではなかったでしょうか？
「2×4=4×2」を加算法に置き替えると次のようになります。
「2×4=2+2+2+2=8」->「4×2=4+4=8」
「2×(4+1)≠4×(2+1)」を加算法で検証すると次のようになります。
「2×(4+1)=(2+2+2+2)+2=10」≠「4×(2+1)=(4+4)+4=12」
「2×(4+1)=(4+1)×2」を加算法で検証すると次のようになります。
「2×(4+1)=(2+2+2+2)+2=10」->「(4+1)×2=(4+4)+2=10」
∴　「a×(b+1)≠b×(a+1)」は乗法の交換法則に適合しない。

補足

回答ありがとうございます。

あなたは一体何の話をされているのでしょうか？
そもそも「掛け算の順序問題」についての話題なのですが、あなたはこれについて把握されているのでしょうか？
少なくともこのテーマに沿った意見を聞きたいものです。

回答No.15

miso_kasu

>『f(a,b)においてa=2、b=4とした』と解釈する、ということですね。
あなたが言っていることなのでその通りに解釈しています。
2項演算で乗算についてだけの解釈ではf(a,b)を「a×b」とするか「b×a」とするかを問われれば両方とも可です。
理由は演算が乗算に限定されているためです。

質問文の中で「y=a×(b+1)」に対してa=2、b=4を与えるとのことなので2項演算をどのように考えているのかが理解し難い状態です。
他の回答者との問答も読みましたは尾鰭がついて更に混乱しているように見受けられます。
f(a,b)の第1項のaに2を与えるのか4を与えるのかによって第2項のbへ(4+1)を与えるのか2を与えるのかが異なります。
乗算の乗数と被乗数は前後を入れ替えても計算結果が同じにならなければ数学が破綻します。
因って、「a×(b+1)=(b+1)×a」でなければなりませんが、あなたの論法は「a×(b+1)」と「b×(a+1)」の比較をしていますので他の回答者も含めて整合性が取れない状況と思います。
別の見方で配列変数aと配列変数のb夫々の要素2と4を引き合いにして「a(2)×b(4+1)」のような表現も見受けられるため更に混乱が増しています。
もう少し問答が終息するようなキャッチボールができないでしょうか？

お礼

>>『f(a,b)においてa=2、b=4とした』と解釈する、ということですね。
>あなたが言っていることなのでその通りに解釈しています。

質問文の中にないことを「あなたが言っていること」という意味が分かりません。
私は「あなたならどう解釈しますか？」「意見が聞きたい」と、私があなたに聞いているのです。

>因って、「a×(b+1)=(b+1)×a」でなければなりませんが、あなたの論法は「a×(b+1)」と「b×(a+1)」の比較をしています

私は「b×(a+1)」など書いていませんので、これがどこから出てきたのか意味不明です。
「掛け算には順序が無い」という方ならもしかしてこう考えるのかな？という予想・想像に対しての意見でしたら、私自身の意見・論法ではありませんので、私は知りませんとしか言えません。

>もう少し問答が終息するようなキャッチボールができないでしょうか？

私は「あなたならどう解釈しますか？」「意見が聞きたい」と言っており、問答するつもりはありません。
私は、あなたの謎理論を「あなたはそう解釈するのですね」と思うだけです。

ちなみに、このサイトは初めて使うのですが、「補足コメント」が一回だけなどちょっと使い勝手がよく無いような気がします。

補足

回答ありがとうございます。

あなたが何を気にしているかよく分かりませんが、単に「a×b」と「a×(b+1)」の2つの数(式)がある、というだけの話です。
「ある自然nがあったときこれより1大きい数をnを用いて表せ。」など中学レベルの基本的な問題です。この時、nより1大きい数は「n+1」と表され、n=4のときは「n+1」は「5」となります。単に「n」と「n+1」の２つの数があるというだけの話です。
今回の話は、これに毛が生えた程度の話でしかありませんよ。

回答No.14

miso_kasu

>この問題では、「2×4=4×2」ですので「2×(4+1)=2×5=10」や「4×(2+1)=4×3=12」という複数の解答があるということでしょうか？
f(a,b)においてa=2、b=4としたとき、y=a×(b+1)を求めるのでしたら「2×4=4×2」であっても「2×4」のみを考えれば良いことではないでしょうか？
y=a×(b+1)　->　y=2×(4+1)=2×5=10　∴　y=10
「a×b=2×4」と指定されているのでしたら「b×a=4×2」を考える必要は無いでしょう。

蛇足、a=2、b=4としたとき
f(a,b)　->　f(a,b+1)　->　f(2,4+1)　->　f(2,5)
y=2×(4+1)=2×5=10
f(a,b)=f(b,a)　->　f(a+0,b+1)=f(b+1,a+0)　->　f(2,5)=f(5,2)
y=(b+1)×(a+0)=5×2=10

a×(b+1)≠b×(a+1)　->　a×b+a≠b×a+b　->　a≠b

補足

回答ありがとうございます。

>「a×b=2×4」と指定されているのでしたら「b×a=4×2」を考える必要は無いでしょう。

趣旨は「あなたならどう解釈しますか？」ということですが、あなたは、「a×b」と「b×a」、「2×4」と「4×2」はそれぞれ異なった意味を持つ表記であるため、入れ替えの組み合わせは何通りかありますが『「a×b=2×4」と指定されている』『f(a,b)においてa=2、b=4とした』と解釈する、ということですね。

回答No.13

LEGENDmathlava

逆質問になるけど「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定めているのではなく
(a, b)に対して「a×b」と「y=a×(b+1)」の二つを定めていませんか？

>>二項演算の写像ルールを表形式で与えれる場合は「となりのマス」と言った概念はありえるでしょう。

そのとなりのマスという概念があなたの独自ルールなのです。

ここまで読んでみて、これは「数学の質問」ではなく、「貴方の創り出した世界に関する質問」だということがよくわかりました。

補足

回答ありがとうございます。

>逆質問になるけど「a×b」に対して「y=a×(b+1)」を定めているのではなく
>(a, b)に対して「a×b」と「y=a×(b+1)」の二つを定めていませんか？

何を問題視されているか分かりません。
(a, b)に対して「a+b」「a-b」「a×b」「a÷b」「f(a,b)」等の値を問うてはいけないということでしょうか？

>そのとなりのマスという概念があなたの独自ルールなのです。
果たしてそうでしょうか？

集合{0,1,..,3}として、２項演算「x◎y」を以下の表のように定める
　 |y 0　1　2　3
----------------
x 0|　0　0　0　0
　1|　0　1　2　3
　2|　0　1　3　3
　3|　0　2　1　2

のように与えられるとき、「1◎2」の「となりのマス」を問う概念が私だけのものとは思えませんが。
あなたは、「+」は普通の足し算として、「1◎2」の「となりのマス」「1◎(2+1)」の値を問うことはできない、という主張であることは承りました。

>ここまで読んでみて、これは「数学の質問」ではなく、「貴方の創り出した世界に関する質問」だということがよくわかりました。

あなたにとっては、上記の２項演算「x◎y」は「数学」ではないのですね。
あなたと私の「数学」に関する認識が異なっていることは分かりました。

回答No.12

LEGENDmathlava

>>掛け算a1×b1に対応するf(a1,b1)の値
そもそもAに対するBという曖昧な概念のままでは数学という学問では語れません。
そしてa1×b1というのは結局一つの実数ですので、既存の数学でいくら無理やり考えようとしても『「2×4」に対する』は『「8」に対する』と同義になるでしょう

>>掛け算九九の「ニシガハチ」の次が何かを問うイメージ
そのような概念は既存の数学には存在しません。
a×bとa×(b+1)の間に何ら関係性はありません。

補足

回答ありがとうございます。

>そもそもAに対するBという曖昧な概念のままでは数学という学問では語れません

両方の式に共通のa1,b1があり、これにより関係性が示されていますので問題と思います。

>そしてa1×b1というのは結局一つの実数ですので、

一般的な二項演算の表記の定義ではそれだけの意味ではありません。

>そのような概念は既存の数学には存在しません。

二項演算の写像ルールを表形式で与えれる場合は「となりのマス」と言った概念はありえるでしょう。

>a×bとa×(b+1)の間に何ら関係性はありません。

両方の式に共通のa,bが使われている、という関係性があります。
a×(b+1)-a×b=aとすれば、いわゆる「乗数が1増えると被乗数分だけ値が増加する」という関係も確認できます。
これは「共通のa,bが使われている」からこそ検討できることです。

あなたから「a1×b1というのは結局一つの実数」というご意見を聞けたのでそれで結構です。
掛け算に順序がない、と言う方はあなたと同じ解釈のようですね。

回答No.11

LEGENDmathlava

数学的には問題自体が不成立です。
貴方が強引に作り出した問題の解釈は貴方自身にしか作りだせません。
この問題に数学的に正しい解釈というのは存在し得ません。

補足

回答ありがとうございます。

「f(x,y)=x×(y+1)」を定義する時、掛け算a1×b1に対応するf(a1,b1)の値がどうなるか、を確認しています。
具体的に「a1×b1」が「2×4」の場合に値がどうなるか、ということです。

これは、掛け算九九の「ニシガハチ」の次が何かを問うイメージです。
こちらとしては「ニシガハチ」の次は「ニゴジュウ」を期待しますが、「サンシジュウニ」もそうだという方もいるかもしれません。

回答No.10

bunjii

>#2の方に対する補足コメントを見ていただいていればと思います。
-------------- ここから --------------
この質問の趣旨は、「a×b」からa,bそれぞれの値を読みとって「y=a×(b+1)」に代入してください、ということです。
「2×4」のとき「a=2,b=4」という解釈のみなのか、「a=4,b=2」という解釈もあるのか、という確認です。
-------------- ここまで --------------
「a×b」と「y=a×(b+1)」の関連性について説明されていませんので補足が必要と思います。
「a=2,b=4」のとき「a×b」に代入すると「2×4」になるのは当然です。
「a=4,b=2」のとき「a×b」に代入すると「4×2」になるのも当然です。
では、「a=2,b=4」のとき「a×b」は「2×4」であり、「b×a」は「4×2」になりますがこれをどのように解釈しますか？
また、「a×b」のbと「y=a×(b+1)」のbは同じ値を使うよう指定されているのであれば「a×b」の計算結果は？（「a×b=?」、「y=a×b」ではないですよね）
回答No.9では「はい、あなたの考えを汲み取れていません。」と申し上げてから憶測の回答をしていますので考え方の違いは憶測の域を脱することができません。
算数の四則演算では乗除算を先にとなっていますが（）内の計算は加減算であっても乗除算より先に計算することは理解された上での質問ですよね？

>結論として、掛け算に順序があり、「2×4」のときは「a=2,b=4」という解釈のみ、ということでよろしいでしょうか。
その論法が理解できないのです。
「2×4」は実数の算式であり「a×b」または「b×a」との関連によって「a=2,b=4」または「a=4,b=2」に変わってしまいます。
「a×b=b×a」に倣って「a×(b+1)=(b+1)×a」とすることは正しいが「a×(b+1)=b×(a+1)」とするのは誤りです。

補足

回答ありがとうございます。

趣旨を理解しないまま回答されても困りますので、もう結構です。

回答No.9

bunjii

>趣旨があまりうまく伝わっていないように思います。
はい、あなたの考えを汲み取れていません。

>『数式の「×」の左右を入れ替えて良い』なら入力は「4×2」としてもよいことになりませんか？
「a×b=b×a」は間違えていませんが「a×(b+1)=b×(a+1)」は誤りです。
四則演算の計算順位は乗除算を先にして加減算を後で行う決まりになっています。（乗算と除算は何方が先でも良く、加算と減算も何方が先でも良い）
「a×b+1=b×a+1」であれば間違いではありません。
a=2、b=4として
「2×4+1=4×2+1=9」や「2×4+1=1+4×2=9」のような計算は四則演算の計算順序が正しいことになります。
あなたが考えていることを勝手解釈しますと「a=2、b=4として、a×b=a×(b+1)と考えたことに誤りがあると思います。
a×b=a×(b+1)
　↓　両辺をaで割ると
b=b+1
　↓　両辺からbを引くと
0=1　明らかに誤りであることが分かるでしょう。
間違った数式で比較しても正しい答えは得られません。
「y=a×(b+1)」と言う数式は何処から持ってきたのでしょう？
y=a×(b+1)
　↓　右辺の括弧を外すと
y=a×b+a
　↓　aに2を、bに4を代入して
y=2×4+2=10
　↓　aに4を、bに2を代入して
y=4×2+4=12　aの値とbの値を入れ替えるのは誤りです。
被乗数と乗数の入れ替えであれば正しい結果になるはずです。
y=a×(b+1)
　↓　右辺の括弧を外して
y=a×b+a
　↓　被乗数と乗数を入れ替えると
y=b×a+a
　↓　aに2を代入し、bに4を代入すると
y=4×2+2=10　aの値は2のままでbの値（4）と交換してはいけない。

補足

回答ありがとうございます。

あなたには全く話が通じていないようです。残念です。
#2の方に対する補足コメントを見ていただいていればと思います。
結論として、掛け算に順序があり、「2×4」のときは「a=2,b=4」という解釈のみ、ということでよろしいでしょうか。