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n = 1に言及するのを忘れてました。 n = 1のとき、(3^n - 2^n)/6^(n-1) = 1であるから、n = 1のときも成り立つ。 ∴a[n] = (3^n - 2^n)/6^(n-1)
- asuncion
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(1) [n+1] = a[n]/2 + 1/3^n の両辺に2^(n+1)をかける。 2^(n+1)・a[n+1] = 2^n・a[n] + 2^(n+1)/3^n b[n] = 2^n・a[n]とおくと b[n+1] = b[n] + 2・(2/3)^n ∴b[n+1] - b[n] = 2・(2/3)^n (2) b[1] = 2a[1] = 2 n ≧ 2において、 b[n] = 2 + 2Σ[k=1～n-1](2/3)^k Σ[k=1～n-1](2/3)^kは初項2/3, 公比2/3である等比数列の初項から第(n-1)項までの和 であるゆえ、 b[n] = 2 + 4(1 - 2^(n-1)/3^(n-1)) = 6 - 2^(n+1)/3^(n-1) = (2・3^n - 2^(n+1))/3^(n-1) = 2(3^n - 2^n)/3^(n-1) ∴a[n] = b[n]/2^n = 2(3^n - 2^n)/(2^n・3^(n-1)) = (3^n - 2^n)/6^(n-1)
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